主講人：陳毅 博士

主題：從Hilbert之幾何基礎談今日之Lie幾何

Abstract：

    幾何可以如同二千三百年前歐基理德發表的〝元素〞是synthetic (non-analytic/ algebraic｝，沒有坐標系。但近數百年中，像微積分幾何、代數幾何皆脫離不開坐標系；而且數學界在1899 D. Hilbert出版“Grundlagen der Geometrie幾何基礎”前尚未注意幾何結構和坐標系之相關性。Hilbert指出用公理定義之synthetic projective space在至少三度時由於十點十線之Desargues定理自然成立故必有division ring坐標。欲有field坐標，則九點九線之Pappus定理必須成立。在二度時，Desargues定理成立才有division ring坐標。上述兩結構定理決定了projective space能具備何種collineation group以致有什麼坐標。〝幾何基礎〞促使發現大堆projective planes及研究其附屬ternary rings如nearfield, quasifield；並開闢幾何代數。　　

    在實數平面上有古典的Moebius幾何討論點、直線和圓，也即球切面幾何。Laguerre幾何討論有方向之直線和圓；其相等於討論點、直線和拋物線，也即圓柱切面幾何。Minkowski幾何討論點、直線和雙曲線，也即單葉雙曲切面幾何。1935 B.L van der Waerden/ L.J Smid証明Moebius和Laguerre幾何滿足Miquel定理就有field坐標。一些不用field而用ring之non-linear幾何也隨後問世。　　

    上述三古典幾何都是古典Lie幾何之子幾何。古典Lie幾何討論實數平面上點、有方向之直線和圓；也等於是討論四度projective space中之Lie quadric上之點。把實數用field of characteristic unequal to two取代之則成現代的Lie plane；其如同古典情況保留三子幾何。四十多年前我循van der Waerden/ Smid方式設立Lie planes。很遺憾的是因而所得的field必要Pythagorean。這是由二度面上去求解之弊。彼時我已讀到某R.Baer定理和某H.Lenz 定理而悟，應入四度空間求解。這雖使我在三度空間找出Minkowski plane，但未能更進一度。兩大困難如下：一、 四度projective space中之每個超平面有四個linearly independent dots (Lie quadric上之點synthetically稱之謂dot。彼此conjugate點稱為相切 (touch) )可供定義web (收容一超平面所有在Lie quadric上之點)。但是如何証其well-defined？也即每web中任何四linearly independent dots定義出相同的web？(四linearly independent dots因為相切與否可具多種不同型。且webs有三型)。此外如何synthetically定義一組dots linearly dependent也是不易抉擇的問題。二、 兩個webs可能共有之dots有六種不同情況 (包括空白) ，以致無法從共有之dots來決定三個webs是否linearly dependent。　　
    
    1995年我忽悟三超平面linearly dependent 即是凡和其二conjugate者必也和其三conjugate。便努力尋求最可取linear dependence和conjugacy之synthetic定義及系統化處理well-definedness。逾十年才整理出五條（沒有 Miquel定理）令自己滿意之公理定義之synthetic Lie planes 及証明其如何induce四度projective space和Lie quadric。　　
    鑑於projective plane 中Desargues定理和 (Z,a)-transitive perspectivities之相繫，我今年初找出Lie plane中必有之harmonic inversions用來簡明正集合各種廣義Miquel定理的〝方塊〞定理。若欲analytically証之，則需用幾千個equations。研究幾何，analytic 和synthetic 方法是相輔互成！

時間：2008 年 10 月 06 日13:20~14:10

地點：新生大樓202室

茶會：14:20於舊數館201室