第一章首先探討了光滑流形及其上的光滑函數，定義了切空間和導函數，說明了流形上的隱數定理，引進光滑函數正則值的概念，並利用來證明代數基本定理。第二、三章證明了 Sard 定理：任一光滑函數臨界點集合之 Lebesgue 測度為零，並應用此定理證明了 Brouwer 不動點定理：歐氏空間中的單位閉圓盤上的連續自映射必有不動點。第四章定義了流形間光滑映射的模2次數，並證明這在光滑同倫之下是不變量。第五章考慮可定向流形的情形，定義了流形間光滑映射的次數並證明這在光滑同倫之下是不變量。
第六章討論流形上的向量場；首先利用映射的次數定義向量場奇異點的指標，接著證明流形上任一向量場的指標和等於其一管形鄰域的高斯映射次數，再造一個易於計算指標和的向量場，由此證明了 Poincare-Hopf 定理：流形上的向量場奇異點指標和等於該流形的 Euler 示性數。第七章引進標架同痕（framed cobordism）及 Pontryagin 構造，並應用之證明了 Hopf 定理：一光滑 m 維流形至 m 維球面光滑映射之光滑同倫等價類與其次數一一對應。[齊震宇老師]