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 向量微積分》 |
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範例 50：阿基米德原理 |
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你知道什麼是「阿基米德原理」嗎？你想知道如何理解阿基米德原理嗎？
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《 解答 》 |
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其中  是  點的 座標， 是 點指向體  之外的單位長法向量，把表面 所承受的壓力作一面積分，以
表示，注意這是一個向量值的積分， 是的面積元素（area element）
我們可以利用Stokes定理來把上面這個面積分改寫成一個體積分
（定理： ）所以
這裡， ， ， ， n代表U的體積。
我們也可以避開Stokes定理，直接理解  。 由投影的觀點， ， ， 分別是 在  平面， 平面， 平面的投影。
先看 
在曲面上取一點，經點沿  軸方向，作一射線，交於另一點  ，則 和 的  坐標相等，而 的大小都是  ，但是因為 在 和 的符號相反，因此
這裡證明了  ，同理  再看  ，
 點沿 軸的方向作一射線，交於另一點 ，在和 ，坐標的差額是 ，再乘上  作積分，就得到物體 的體積
註：施表面的力對區域 的幾何中心（或 這塊水的質心）的總力矩也等於 0，即若將質心置於原點的話，可以證得
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平面為液面，其下有區域 
