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 微分》 |
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範例 44：行星繞日的軌道 |
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在萬有引力的作用下，為什麼行星繞日的軌道是圓錐曲線呢？
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《 解答 》 |
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假設行星的位置坐標寫成  ，速度  ，
計算 
其中  表方向的速度， 表垂直方向的速度， 的大小是 ， 的大小是 
角動量守恒表示 是常數，它的大小是  常數，
令 表示加速度向量  ，它指向太陽﹙原點﹚大小與  成反比。
計算
因此  的方向指向原點，並且大小固定。
令  ， 是常數。
因此  ； 是常數。
的大小 ＝  ，除以
所以  ， 是常數，亦即
不妨設 ，得  ， 是常數
或
兩邊平方， 滿足錐線方程。
註：注意到 分佈在以  為心，半徑為 的圓上，
這對軌道是圓錐曲線有什麼幾何直觀的提示呢？
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