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範例 36：懸垂線（Catenary）
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電線在兩電線桿之間懸垂成一曲線，這樣的曲線我們稱為懸垂線，你知道如何導出它的方程式嗎？
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《 解答 》 |
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如圖，我們選懸垂線的最低點的法線方向為 y 軸，最低點的坐標為  ，在此處的(水平)張力為 。考慮曲線上任一點  ，其張力  在切線方向。與X軸的夾角為  ，則  。假定電線是均質的，密度為  （每單位長度），則電線從 到 的重量為  ，
而 要由 在垂直方向的分力  來平衡： ；另外在水平方向又有  。兩者相除，得  ，亦即
兩邊對  微分，得
令  ， ，則上式可寫成為  ，因此
另一方面，用不定積分的技巧，可得
因此得
但因  時  ，由此確定 ，取指數，解出  ，得
兩邊積分，就得
我們可以選適當的X軸，便得  ，而又因 時， ，所以  ，因此
資料來源：取材自曹亮吉主編微積分，歐亞書局出版。
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