一個固定邊長 的正六角柱，上方被替換成三個交於一個公共點的菱形。如下圖所示：

圖一	圖二	圖三

（先將四面體ABCD截下，再將與貼合，得到圖二，再對另外兩個四面體作同樣的動作，最後得到圖三）柱的底面是空的，而總體積會是一個常數，不妨設成 ，如果我們假設，那麼此柱體的表面積 會是以下的形式：

該如何計算蜂房（圖三）的表面積呢？

由題目所述的過程中可以清楚地了解：表面積為六角柱的柱面面積(1)減掉六個小三角形(2)再加上三個菱形面積(3)。由於它是"正"六角柱構成的，所以我們可以只算一小部分的表面積即可

1. 體積 ，底面積為六個小的正三角形組成，邊長為，所以底面積
   
   ，得到柱高 因此周圍的表面積
   
   

   圖四

2. 切掉的六個小三角形面積需要注意一下，因為 是最後最高點與底面和最矮邊長的夾角，事實上的長度等於圖二中 的長度，用側面圖來看就可以很清楚地知道關係了（圖六）所以 ，因此六個小三角形的總面積為
   
   

   圖五	圖六

   
   
3. 三個菱形的總面積兩對角線之積＝＝（見圖七、八）
   
   

   圖七	圖八

進一步地，我們發現總表面積呈現一個和 有關的函數（因為 和 都固定了），並且 在 ～ 度之間 與 是連續可微分的，
因此我們可利用微分的方法找到的極值：

• 對 微分：
  
  ，令
  
  ，
  
  
  
  
  
  如果 ，
  
  
  
  

  圖九

• 計算
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  所以，時，表面積有最小值。
  
  
• 事實上，蜂房的形狀真的長得如此，並且研究發現 值真的約 ，於是可以想見蜜蜂聰明之處，不浪費原料。

註：圖一中四面體ABCD這一塊切下的同時，繞軸旋轉 ，使 與 重合，就得到圖三。