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範例 28：血液在血管中的流動 |
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在人體中，血液藉由動脈、靜脈、微血管來輸送，從心臟出發到達各組織或器官再返回心臟，在這個過程當中所需的能量越少，心臟的負荷就越小，血液在血管中除了受重力作用之外，也受到黏滯力的影響，你知道血管的夾角多少時，才能使血液所受到的黏滯力最小嗎？
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《 解答 》 |
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如圖所示，有條血管半徑為  ，長度為  ， 處有一器官，與此血管距離為  。需要一條半徑為  的血管連接到主血管來獲得血液，請問兩血管的夾角多少時，才能使血液由  經  到 所受到的黏滯力最小？
根據Poiseuille's law，當血管長度為 ，半徑為  時，血液在血管中所受的黏滯力為 ，其中α為比例常數。血液由 到 所受的黏滯力為 ，由 到 所受的黏滯力為 ，所以由 經 到 所受總力 為：
為 的函數，的極值發生在 。
由於 。所以 ，即 令  滿足 ，當  時， ， 當  時， ， 所以θ滿足 時，有最小值。
在R. Roseu所著的Optimality Principles in Biology(London:
Butterworth, 1967)當中提到，在大多情況之下，血管分支的角度的確符合上面所推導出來的結論。 |
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