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 多項式》 |
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範例 02：笛卡爾符號律 |
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首項係數為1的實係數多項式，
把係數依序排出，
（中間如果有 0，就去掉不寫）看看從1到 正負符號變了幾次，稱為 的變號數。例如：1，3，–5，–7，9
變號數是2； 1，–3，9，–4變號數是3。
笛卡爾符號律是說：如果變號數是 k的話，那麼多項式f(x)的正實根的個數（重根要計以重數）一定是
k， 或k–2，或k–4，…，換句話說，正實根的個數小於或等於 k，但是可以與 k差一個偶數。
你知道這是為什麼嗎？ |
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《 解答 》 |
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我們提供一個直接的看法，先假設
 ， ，把 寫成
因為 ，同號，所以 的變號數?是
k，因此由數學歸納法可以假設 的正實根個數是
k 或 k-2 或 k-4，…
☆ 注意： 的正根和在一樣的位置。
現考慮 由於 是正的，所以圖形向上移動，正根的個數不會增加，只有可能減少，每一次減少都是偶數個。
如果，但是 ，此時，的變號數是
k–1。（比的變號數少1）再看上圖，考慮，由於是負的，所以圖形要向下移動，剛開始移動一點點，現在0的右邊產生一個新的實根，由歸納法假設 的正實根數是
k-1，或（k–1）–2，或（k–1）–4，…，由於 的正實根數會多
1，實根數變成 k，或 k–2，或 k–4，…
讀者可以嘗試寫下最後的證明。
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