| 三角形被三個邊長完全確定，四邊形則否。有名的海龍公式告訴我們如何利用三個邊長來計算三角形的面積。至於四邊形求面積的公式，不能只用四個邊長，還要加上頂角的角度，公式由
Bretschneider 在 1842提出（註一）。如果四個邊長依序為 ，而相關的頂角分別為 （如圖一）
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圖一 |
則此四邊形的面積 的平方可以表為
其中 是周長的一半，如果以 代入整理，
可以將Bretschneider公式寫成：
一個重要的結果是，當此四邊形內接於一個圓的時候，由於 ，因此面積會最大，並且面積的平方就是 。有關Bretschneider公式，蔡聰明在他的書中用平面幾何的方法給了完整的證明（同註一）。本文嘗試用微積分的方法來得出相同的公式，想法來自微積分基本定理–我們想要求一個圖形的面積，不妨把面積對某個參數微分，看看能得出什麼，然後再積分（反微分）回去，積分回去的時候，會生出一個不定常數，再想方法確定這個常數，在本文中，四邊形的四個邊長給定，它的面積以表示（如圖二所示），參數就是角 ，至於角 ，它被所決定，因此可以看成的函數。
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圖二 |
我們先把寫成
則有
因為
微分之後有
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(1) |
現考慮
將(1)代入得
所以
因此
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(2) |
其中
 是一個待定的常數。
如何決定 ，當然要選一個特別的角代入，一般會想到讓，此時就是內接於一圓時四邊形的面積，但這未必好求。比較好的方法是令 ，四邊形就變成了一個三角形。（如圖三）
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圖三 |
這雖然是一個退化的情形，但是一則不影響一般性，再則三角形的面積有現成的海龍公式，也就是說我們得到
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(3) |
再用一次餘弦定律
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(4) |
我們注意左邊就是三角形三邊長為 的面積平方（海龍）公式。 （4）式已經決定了，雖然尚未整理，卻至少告訴我們，是一個的四次齊次多項式。
現在，可以利用配方來整理（這需要一點後見之明）
代回到（2）
這是Bretschneider公式。
我第一次看到將對角微分，是在項武義老師的演講中，他的講題是等周問題（Isoperimetric
Problem）， 他寫下了
然後，他令 ，得出 或者 時，會有最大值。他利用這個事實嘗試給等周問題一個比較幾何的證明（當然，他假設了等周問題是有解的）（註二）他的證明如下：不妨假設這個面積最大的情形是發生在一個凸的區域（周長給定）（如圖四）
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圖四 |
任取四點，連一個四邊形，如果ABCD不能內接於一圓，那麼就可以調整角，讓ABCD的面積更大，而注意到作這個調整的時候弧長AB，BC，CD及DA都沒有改變。因此，如果這個凸區域在給定的周長之下具有最大面積的話，那在邊上任取四點，所成的四邊形都必須內接於一圓，不難證出這些圓根本就是同一個圓，這個凸區域就是此圓的內部。等周問題主張在周長一定的時候，圓域的面積最大。武義師的證明相當有啟發性。（註三）
註一：見蔡聰明，數學的發現趣談，三民書局九十一年版，第163頁。
註二：等周問題是問，當周長一定的時候，什麼樣的區域會有最大的面積。答案是圓域，有興趣的讀者可以參考Courant
and John, Introduction to Calculus and Analysis,
Vol II, p.p. 365-366。
註三：八十八年項武義在台大數學系給的演講。
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微積分基本定理》