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經濟學上的Lorenz曲線是個很好的均值定理（Mean-Value
Theorem）的應用，比方說我們想要研究一個國家中的每個家庭所得收入的情形，我們可以用以下方式來了解：
- 先將所有住戶以所得由小到大排列
- 橫軸代表住戶的 "百分等級"，縱軸所顯示的是 "累積所得" 佔總所得的百分比
如下圖：
如此一來，描繪出來的點畫成的曲線即為Lorenz Curve。
Lorenz Curve具有下面的幾個特質：
此曲線一定是遞增，並且凹口向上的圖形：（因為住戶數夠多，於是我們可將Lorenz
Curve畫得平滑些, 至少二階可微分）
不妨這樣子看：Lorenz Curve可以表示成  ，其中  為百分等級為  的住戶的所得佔全部所得的比例。
 即此圖形的縱軸值
 ， （微積分基本定理）
 遞增
 ，（因為排序方式是由小到大）
 凹口向上。
ESC（Equal-Share
Coefficient）
我們希望在Lorenz Curve一找到切線斜率為1的點，我們稱這個點是ESC（Equal-Share
Coefficient），簡記為  ，點 的收入正好和平均收入一樣（因為平均收入為（0,0）與（1,1）的割線斜率），因此它是一個很好的指標：在
以下的住戶所得比平均所得低，在 以上的住戶所得比平均所得高。此點
在Lorenz Curve上存在嗎？
答案是肯定的，因為均值定理（Mean-Value Theorem）告訴我們：如果一函數在閉區間 連續，在開區間 可微，則存在一點 ，使得  。用在Lorenz Curve上，即為點。導函數 就是 。並且：如果每個住戶所得不相等，則圖形的斜率函數嚴格遞增，於是可以保證
唯一。
Gini Coefficient
Gini Coefficient是一種衡量貧富差距大小的指標，我們可以想見：如果每個住戶的收入都一樣的時候，畫出來的Lorenz
Curve是（0,0）到（1,1）的直線，如果貧富差距愈大，則 Lorenz Curve就會離那條直線愈遠，Gini
Coefficient就是計算以下式子：
Lorenz Curve和對角線所包圍的面積與 面積的比值
如果我們清楚Lorenz Curve的函數式 ，那麼Gini Coefficient就會是
所以我們也可利用積分工具以得到Gini Coefficient。 |
