給定坐標：，，，，

其中 為變數，則：

最小值可能發生之處為 的點

或偏導數不存在的三點。

若 可解 向量方程

↓

的單位向量

↓

的單位向量

↓

的單位向量

可解 存在一點O使得的單位向量+ 的單位向量 + 的單位向量 = 0向量。

三個單位向量和為 0，則三個向量必互相夾 。

皆小於 ；反之，若皆小於 ，必可在A、B、C內部找到O點。

夾角皆為

可解 皆小於 。

令 ，若 皆小於 ，
則 最小值發生在 A，B，C或 的解O上。
而 在A的值為：

在O的值。 同理，在B，C的值皆大於在O的值。
的最小值存在，可能發生的點僅，又在四點中，O的值最小，
最小值發生在O， O滿足 夾角
若 其中一角大於或等於

則最小值可能發生在值分別為 ，，，

即 ， + ，又角A為最大角，為最大邊，

最小，最小值發生在A。

註：當本題有一純幾何的做法作正 ，正，則 ，

若要最小，則須選取 P 使得P， P' A'， C在同一直線上。

此時， A'APB為圓的內接四邊形。





此一P點一般稱為費馬點

解法（二）（不用偏微分）

把問題改變一下，如圖：

讓 變動一點點到 來看看，則到三點距離和的變化是。

不妨設β是鈍角，α是銳角，則有，，，

且 ，，，，，

因此要求： 就得到 ，或 。

如果不要求，一定要在特定的直線AP上，但是仍然要求 最小，