何謂Logistic模型？

在了解Logistic模型之前，要先知道英國經濟學家馬爾薩斯（Malthus）在 1798 年發表的 "人口原理" 中，提出下述人口成長模型：

人口的成長率與總人口數成正比

寫成數學式則為：，其中表示時間的人口數。

而比利時數學家 Verhulst 在 1840 年修正了馬爾薩斯的人口模型，他認為：

人口之成長不能超過由其地域環境所決定之某最大容量

於是提出下面的模型，通稱為Logistic模型：

，，

這方程的意思是： 在人口相對少時，基本上馬爾薩斯的模型是對的，

但當人口相當多時，人口成長率便會趨緩，而且越靠近人口上限時，成長率越小。

如何解微分方程？

利用分離變數法，記有 ，兩邊積分後，
左式 ，

其中是常數，
而右式 ，是常數，於是

，

為常數，

最後再化簡得 ，為常數。

若設初始條件，，則

回到原問題，此時，，

現在是希望找到在 時刻的 為多少的時候會使得兩天之後的值大於5000？

即找使得，於是 ，

， 至少要派180人。

同樣地，若將時間改為五天的話，即解不等式：

，

於是 ，

∴他自己一人散佈即可。