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範例 39：四隻蒼蠅飛行問題 |
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有四隻蒼蠅A,B,C,D分別位於平面上的（1,1）， （-1,1），
（-1,-1），（1, -1），之後牠們一起以每秒1單位的速度行動，行動的方式為：
A蒼蠅一直向著B蒼蠅靠近，
B蒼蠅一直向著C蒼蠅靠近，
C蒼蠅一直向著D蒼蠅靠近，
D蒼蠅一直向著A蒼蠅靠近，試問：
（1）四隻蒼蠅會在何處相遇？
（2）牠們多久會相遇？
（3）找出A蒼蠅的行動軌跡，並大致畫出。
（4）計算A蒼蠅從開始到相遇的路徑長。
（5）蒼蠅A會有什麼樣的生理反應？
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《 解答 》 |
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- （1）（2）
從物理相對運動的點來看A的行進方向始終和B的行進方向保持垂直，你可以想像蒼蠅移動了瞬間之後，方向就立即修正（參照圖一、二、三），由於四隻蒼蠅是做等速運動，所以每一時刻以四隻蒼蠅圍出來的四邊形會是正方形，（行進方向垂直加上等速）於是當時間愈久的時候，蒼蠅愈來愈靠近，正方形愈來愈小，最後會內縮成一點，這一點會是原點，這就是他們相遇的地方。此外，A靠近B是垂直方向靠近，所以從B蒼蠅看來，A還是以
1 單位 / 秒 的等速向B靠近，原來A、B的距離是 2 單位，因此需要  秒的時間四隻蒼蠅會相遇（ ， ， 的推論都一樣，∴四隻會一起相遇）
-
- （3）
我們將蒼蠅A的坐標位置用極坐標的方式表達， ，而B的位置就是  要注意的是： 和  都是  的函數 
而A的速度是
此向量要與  平行，於是（如果 ）
 ，初始值  ， ， 。 (  ) 其軌跡如下圖所示
事實上我們必須注意到，在 的情形下會有  的推論，我們不妨用積分式算出
時刻走了多少路： （等式右邊是速度乘上時間） ，在  的時候， ，"  "。所以其實蒼蠅A的軌跡應為
-
上述討論要表達的是說，加上  這一點是需要的，並且加上那一點後，軌跡還是連續的（可以想一下如何定義在端點的連續性）
- (4)
由(3) 
- (5)
由(3)得知在 到 2 的時候，，換言之，在之前已轉了無限多圈，於是蒼蠅會"頭昏"。
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The translation was initiated by Shu Cheng-chou
on 2003-05-19
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