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 積分問題》 |
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範例 26：牛吃草問題 |
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有一頭牛，被栓在一個半徑為 r 的木椿上（如下圖所示）繩子的一端被固定在A點，而牛能夠走到木椿的對面B。木椿的外部都是草地，請問牛有辦法吃到多少草呢？
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《 解答 》 |
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圖二 |
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圖三 |
我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來：
取木椿的中心為原點 ，令 與 的夾角為θ（如圖四），於是 點坐標為 ，而 ？
是圓在點上的切線段，所以 ， 待定，
而 長度要等於弧長  ，於是  ，解得  ，
所以 點坐標即確定：
我們可先計算圖五的斜線面積，它會是以下所表示的積分值：
（其中 為周期函數，故 ）
∴ Area ，
至此可得吃草的範圍
＝上下兩塊Area加上左半圓扣掉木椿面積
＝ （平方單位）
補充：圖五中弧 稱為圓的漸伸線（involute）
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，而在
點左邊的區域會是一個半圓。至於剩下的區域怎麼求得呢？當繩子被木椿"
拌住 "的時候（見圖三）。
加直線長
