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 積分問題》 |
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範例 23：撞球問題 |
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你知道撞球的時候球桿應該打在哪裡最好嗎？
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《 解答 》 |
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- 觀察1：
如果球桿打在撞球的中央（如圖A處）則球有速度，但是無旋轉的角速度，如此一來球和布會有摩擦， 布會壞掉，可見這不是最佳的點。
◎球桿應打在讓球產生全滾動而不滑動，這是最佳的點。
- 觀察2：
若球一開始有滑動，不久球會開始滾動，滾速會增加，移動速度會減少，而質心速度會增加，到最後會有
 ，即滾動而不滑動，而摩擦力會消失。
| 一些記號： |
 ：球的質心速度 |
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ω：球轉動的角速度 |
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 ：球的半徑 |
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 ：球的轉動慣量 |
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 ：球的質量 |
由物理學的角度來看，一剛性物體的角動量變化率等於力矩之和，寫成數學式即為  ，另外，角動量等於物體的轉動慣量乘上角速度，也就是說  ，於是，用到撞球的例子上即為：
註：
1.因為撞球的滾動是以貫穿球心的軸而轉動，所以其轉動慣量為(質心)
2.力矩  ，其中  是轉動軸到施力點的方向向量，如果只關心力矩的大小，則 
3.要達到全滾動而不滑動，則  ，動量的變化率最後必須全部轉變為 ，瞬間達成。
所以  最後，計算出的值：
1.先計算空心球殼的轉動慣量：
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(球殼上的點到軸的距離) |
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(均勻球殼, 質量與面積成正比) |
 ， 。
2.計算實心球殼的轉動慣量：
對球殼 r ，從O到R積分： ，而
所以  結論：球桿應打在距球心高  處為最佳。
☆補充：為何滾動而不滑動的時候會有  ？
∵滾動而不滑動
∴質心的位移等於弧長  ，
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