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積分問題》 |
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範例 21:雨中行車 |
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若你駕駛一輛風玻璃與地面垂直的吉普車欲從甲地到乙地,此時天正下著雨,假設所有雨滴皆以速度
u 垂直落下,且均勻的分布在空氣中,請問你是該開的快一點或是慢一點,才能使落在擋風玻璃的雨水總量最少? |
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《 解答 》 |
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 圖一
假設每立方公尺中有α克的雨水,若車子以速度 v 前進,以車子為標準座標來看,則雨水以水平速度
v,垂直速度 u 朝車子而來,假設速度與水平夾角θ,則對單位面積的擋風玻璃來說,在 到 間,落在其上的雨水正好是 時,單位面積上高為 ,傾斜角度θ的圓柱內的水(如圖二)
圖二
總共有 克,所以單位時間內單位面積所接收的雨水為
,若甲到乙地距離 ,擋風玻璃總面積 ,則從甲以等速 v 開車到乙擋風玻璃所接收的雨水共有
為一常數,與 無關。
若並非以等速行車,結果又會是如何呢?假設 v 為 t 的函數,寫成 ,單位時間內單位面積接收的雨水為 ,假設在 時間後從甲到達乙,則 。則從甲到乙所接收的總雨量為 依然是一個常數,與 v 無關,也就是說不管怎麼開,落在擋風玻璃上總雨量都是固定的。
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