微分》  
  範例 44:行星繞日的軌道  
  在萬有引力的作用下,為什麼行星繞日的軌道是圓錐曲線呢?
 
  《 解答 》  
 

假設行星的位置坐標寫成 ,速度

計算

其中 width=16 表方向的速度,width=16表垂直方向的速度,width=16 的大小是width=14width=16 的大小是

角動量守琲磳是常數,它的大小是 常數,

width=14表示加速度向量 ,它指向太陽﹙原點﹚大小與 width=15 成反比。

計算


因此 width=18的方向指向原點,並且大小固定。

width=10是常數。

因此 width=24是常數。

width=16 的大小 = ,除以 width=15



所以 width=23是常數,亦即


不妨設,得 width=34是常數




兩邊平方,滿足錐線方程。

註:注意到width=20分佈在以 width=37 為心,半徑為 width=10 的圓上,

這對軌道是圓錐曲線有什麼幾何直觀的提示呢?

 
 
 
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