多項式》  
  範例 03:實係數多項式區間中根的個數  
  一個實係數多項式,我們要如何知道在某一個區間裡出現了幾個實根呢?  
  《 解答 》  
 

讓我們來看看下面的方法(Sturm的發明)

給一個實係數多項式 src="images_02/ex03_1.gif" ,先假設 ,(即src="images_02/ex03_1.gif"無重根)

,



因為 ,所以我們得到的最後一個width=34是非零的常數,

我們稱 width=34的Sturm數列。

我們定義width=34正負號變化的次數。

例如:src="images_02/ex03_11.gif"的Sturm數列是 width=73

假設,則 width=34width=38出現根的個數等於width=98

現考慮下列三種情形:

1.中不可能有連續為 0 的情形產生。

因為如果 width=157,則 (by (*)),

而導出 (但假設 )

2.如果,由(*)可知

取足夠小的width=14使得符號列表如後:

 

    src="images_02/ex03_27.gif"
    width=9
    width=41
    width=32
    +
    +
    +
    width=15
    width=13
    0
    width=13
    width=32

     

    width=10
    width=9
    width=41
    width=32
    width=15
    width=13
    0
    width=13
    width=32
    +
    +
    +

由表可知

3.如果 , ,那麼

假設

    width=10
    width=8
    width=40
    width=14
    0
    +
    width=14
    +
    +
    +


或假設

    width=10
    width=8
    width=40
    width=14
    +
    0
    width=14
    -


由表可知

所以我們可以知道如果在 出現一個根時,

所以width=34width=38根的個數是width=98

舉個例子來看看吧!

有幾個實根?







width=9很大時

,







,所以有3個實根。

(取材自項武義所著微積分,A Concise Introduction to Calculus, World Scientific, 1995)

 

 
 
 
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