積分問題》  
  範例 20:Mercator地圖  
 

Mercator地圖是由G. Mercator在1569年所提出的。至今在航海上仍廣為使用,在Mercator地圖中,經度差相同的經線被攤開為平面上距離相同的平行線。而緯線在地圖上為與經線垂直的直線,而且Mercator 地圖在水平方向和垂直方向的縮收比例一樣。

圖一為地球的一部分,為赤道,為緯度為θ的緯線,假設地球為半徑為 1,圖二為地球的 Mercator地圖,分別對應,若 ,則=?

圖一 圖二
width=176 width=177

 

 
  《 解答 》  
 

。緯度θ時,地圖水平與垂直上的縮放率為 secθ,

(中間值定理)

,當 時,

。又,所以

,當 。這表示 Mercator 地圖無法在有限的紙上畫出完整的地球,而緯度θ時縮放比例為 secθ,secθ為遞增函數。這說明Mercator地圖在緯度越高時失真的情形便越嚴重。

另外值得一提的是,將地球投影至Mercator地圖上其實是一個保角變換,所謂保角,指的是任兩條曲線的夾角經變換後仍保持不變。正由於Mercator地圖保持角度,使得其在航海上有一重要的應用。Mercator地圖上的直線在地球上對應的曲線一般稱為斜駛線 (Loxodromic Curve)或羅盤方位線。由於Mercator地圖上的直線與經線皆保持固定夾角,所以斜駛線與經線的夾角也保持固定。如果欲從地球上的點航行到點,可先找到 , 在Mercator地圖上對應的, ,若地圖上的直線 與經線的夾角為θ,則在航行時只要將羅盤角度固定與經線一直保持θ角,便可以從沿著斜駛線到達了。雖然斜駛線一般來說並不是最短距離,但沿著斜駛線行駛卻是個不易迷路的好方法。

附註: 根據岩波數學辭典260.D條,如果球面半徑為1,經度是 ,緯度是θ,則Mercator map:

因此,是保角變換。

 
 
 
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