積分問題》  
  範例 19:總統副總統喝咖啡問題  
  總統與副總統一同坐下來喝咖啡,他們面前各有一杯相同溫度的咖啡,總統先勺了一匙奶精加到咖啡內攪拌均勻。過了十分鐘後,副總統也加入相同份量的奶精(注意:奶精一直保持相同的溫度)並且攪拌均勻。隨後兩人同時喝咖啡,假設奶精的溫度比室溫低,室溫又比咖啡低,那麼誰喝到較熱的咖啡?  
  《 解答 》  
 

這個問題需要利用牛頓冷卻定律(Newton's Laws of Cooling):

" 物體和周遭(例如室溫)兩溫度差的變化率和兩者的溫度差成正比 "

寫成數學式,即:

其中D(t)表在 t時刻兩者溫度差,width="12"是比例常數,而負號表示溫度差是呈遞減關係(隨 width="6")於是解一階微分方程:
若給予初始值width="22":一開始兩溫差。

我們所關心的是實際溫度,記width="34"為物體在 width=12 時刻的溫度,width="17"為周遭溫度(假設為常數)

現在回到原問題:設咖啡的初始溫度是 width="39",比熱是 width="14",質量 width="19"一匙奶精的溫度是width="17",比熱是width="14",質量width="16"

總統(A):先混合咖啡與奶精,設均衡溫度為 width="16",則由

冷卻十分鐘後有

副總統(B):咖啡先冷卻十分鐘 ,之後咖啡再和奶精混合,設均衡溫度為 width="55",則有

比較 width=54比較width="39"width=48

width=24比較width="39"

發現

結論:總統喝到比較熱的咖啡。

註:就極端情形來看,如果一開始的時候,總統在咖啡中加入相當分量的奶精,使咖啡的溫度降到剛好是室溫,那麼此後總統的咖啡就處於等室溫的狀態,如此過十分鐘,副總統的咖啡會比原來開始的要冷,再加入等量的奶精一定會低於室溫。

 
 
 
  About This document   
  This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 2K.1beta (1.47)
Copyright © 1993, 1994, 1995, 1996, Nikos Drakos, Computer Based Learning Unit, University of Leeds.
Copyright © 1997, 1998, 1999, Ross Moore, Mathematics Department, Macquarie University, Sydney.
The command line arguments were:
latex2html -local_icons -white -notransparent canswer12-html.tex
The translation was initiated by Shu Cheng-chou on 2003-05-14

 
 
   
 
 

版權所有©2004 微積分經典範例網站 All Rights Reserved

本網站各鏈結標題及鏈結內容歸原權利人所有