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考慮一個更一般的問題，對一固定長 
任何半徑 
的圓皆可在圓內找到長為
, 此弦所對應的弧之弧長 
，
為 
的遞減函數（）。若知此一結果，則原題目便可得證。
現在證明
為
的遞減函數， ，
 ，所以 在 時為遞增。
又
 在為遞減函數，
有了這個性質，我們可以再看另一個問題，球面上有A、B兩點，若從A點出發，在球面上沿一圓弧走到
B，要走那條圓弧才能使所走路徑最短呢？
對這些圓弧來說，所對應的弦皆為 ，若弧長要越短，則半徑要越長，而球上半徑最長的圓為截平面通過球心的圓，所以
A 到 B 最短的圓弧為球心、A、B三點所在平面在球上所截出來的弧，此弧稱為由A到B的測地線（geodesic）事實上，測地線不只是在所有圓弧中長度最短，在球面上所有
A 到 B 的曲線中，測地線仍是長度最短的，因此，測地線可看成是球面上的直線。
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by Shu Cheng-chou on 2003-05-21
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