第五屆台大數學營 課務組 【數學研究院】

此屆台大數學營中，課務組新安排了一項小活動【數學研究院】。有鑑於過去幾屆思考性的空間太少，故增設此活動。【數學研究院】的型式為讓學員們營前可先思考下面的問題，當作營隊的暖身操；營隊期間小隊員也可討論對於各問題的想法，在營隊第四天安排一小時對於這些題目的解說(若小隊員可以上台發表解法將另備有精美小禮物)。另外選這些問題的用意之一，是希望藉此介紹些大學數學中的工具、手法。

研究院問題：

(一) 洗牌問題：

有一副52張的撲克牌，進行交錯式洗牌。洗牌規則如下，將52張牌等分成上下兩堆，洗一次後，上堆的牌，變成落在第奇數張的位置，下堆的牌，變成依序落在第偶數張的位置。問：洗幾次後此牌會恢復原來的排列方式呢。進一步的問另一問題，那原本第x張牌，洗y次後，會變成第幾張呢，有何判斷的好方法？

例：若六張牌時 ，如下洗牌，可知洗四次後就會回到原來的排列。

[123] [456] à[142] [536]à[154][326]à[135][246]à[123]à[456]

(二) 點的旋轉、對稱問題：

平面上一點(x,y)，以原點為中心旋轉角後，其座標為何？若對一過原點的直線作鏡射後，其座標為何？有何較好的計算表示法呢？

例：旋轉60度後(x,y)à()

(三) 猜數字問題：

現要猜0~15中的一個數字，只能詢問判別性(是非題)之問題(例：此數是否在0,1,2,3,4,5,6,7中)，易知問四次一定可猜出。但若現在回答問題者可說謊一次，那最少要問幾次才能確保一定能猜出正確的數字，要如何設計問問題的方法。

例：以下是種猜測法，共作了7次猜測如下

{0,1,2,3,4,5,6,7}{0,1,2,3,8,9,10,11}{0,1,4,5,8,9,12,13}

{0,2,4,6,8,10,12,14}{0,3,5,6,8,11,13,14}{0,3,4,7,9,10,13,14}

{0,2,5,7,9,11,12,14}，得到的為N,Y,N,N,N,Y,N(Y表在所列的數字中，N表否)

(四) 平面上曲線的全等判別：

在國中幾何中，學過兩個三角形的全等判別方法(SSS,ASA,…)，所謂兩圖形全等即指經旋轉、平移後兩個圖形能重疊。那若現在考慮的問題是平面上的曲線參數，

要如何判斷全等。

例：三曲線 : (t,t^2)、 : (t^2+2t,t)、 : (t^6,t^2)是否有全等。

(五) 移動拼盤問題：

移動拼盤即如下圖所示，每次操作即將一個數字移往旁邊的空格。以達到所要求的結果。現在的問題是下圖，是否可將第一圖的移動拼盤，經操作後移成第二圖所示的移動拼盤。

1	2	3	4	1	2	3	4
5	6	7	8	5	6	7	8
9	10	11	12	9	10	11	12
13	15	14		13	14	15

(六) RSA密碼

記錄上最早的密碼是凱撒密碼，所謂的凱撒密碼即當甲方要傳訓息給以方時，

先將字母往後移動”d”個位置字，再傳送至乙方，而乙方收到後在將字母往前移動”d”個字母就可得出原碼。

例：現d為2 甲將math加密後得ocvj，再將ocvj傳送給乙。

乙收到ocvj後再解密便可得math。(乙必需要知道d為多少)

此種密碼為不公開密碼，即傳送的雙方必需先約定”d”為多少。

現在最廣為使用的一種RSA密碼，是一種公開密碼。

今乙他對外公開加密鎖匙為(253,3)，現若任何人(甲)要傳數字m(0<m<253)給乙時，他就計算(mod 253) (0<c<253) (mod這運算的意思簡單地說是取餘數，即將在除253所得的餘數為c)。若丙欄劫到c=10，他要如何破解出m為多少，你知道如何求出m嗎？[像當數字253不大時此問題破解上不難，但數字很大時，以高速的電腦運算都很難解出]。

以下簡略介紹此次數學營的講題，若有興趣的學員，可自行先找些相關資料，作些預覽的工作。

(1) 演講 [共三場]

陳其誠【淺談費馬最後定理】

史英【數學想想】

張鎮華【從Nash及對局論談起】

(2) 分組課程 [共7講題，分組選課(a)組四選一、(b)組三選一]

(a)全明道【曲線】：平面曲線的Evolute and Involute、曲率。

(a)王嘉慶【從0.999...到實數完備性】：0.9999…=1?

(a)劉育廷【Prime number】：關於質數分佈的相關定理及證明

(a) 曾于蓉【曲面上的著色問題】：圖論中的著色問題。

(b)黃籃軒【平面上的代數曲線】：Bezout定理。

(b)朱安強【五次方程根式解】：淺談Galois Theory、五次方程不可解問題。

(b) 謝易達【一分為二】：在選擇公理之下，推證出可將一個球分為兩個大小相等的球。