範例 33:用震波來測量地層  
  你知道為什麼我們可用震波來測量地層厚度呢?你想知道其中和微積分的關係嗎?
 
  《 解答 》  
 

地表有一厚度固定的地層width="14",其下為地層width="14",假設震波在width="14"中前進的速率為width="16",在width="14"中為width="16",若,我們可以藉由測量震波來得知width="16"width="16"以及地層width="14"的厚度width="10"

 

border=0

 

在地表選定甲、乙兩點,距離為width="16",若在甲處釋放一震波,則震波傳送到乙的方式有以下3種,透過測量這三種震波從甲到乙所花的時間width="17"width="17"width="17"可以求出width="16"width="16"width="10"

1.沿著地表傳送到乙,所需時間為

2.從甲出發,在width="14"width="14"的交界處width=20反射而到乙,所需時間為

3.從甲出發,到達width="14"width="14"的交界處width=19散射,沿著width="14"width="14"的交界處前進,到達某點width=17,再散射到乙。

這樣的路線中有一條所花費的時間最少,此一路線在width=20的兩側會對稱,考慮此種對稱的路線,如圖所示,則走此種路線所花費的時間

 


width=14取導數,,當 時,。當 時,。當 時,。所以width="36"時有最小值 ,在此可看出width="12"必須大於 。也可看出為什麼要限制,否則width="36"的最小值便是從甲到width=20再到乙所花的時間width="17",便得不到和width="16"有關的數據width="17"

在甲處釋放震波後,在乙處可測得這三種震波到達乙所花的時間,該怎麼判別那個時間是那個震波抵達呢? 首先,而width="17"width="17"間的大小不一定,有以下關係:

 

選取適當的width="16"使得width="22"成立,便有 ,便可判別,這樣的width="16"怎麼選呢?一開始任取一段距離width="22",若此時只測得到2個震波(),便將距離放大兩倍得width=28,若能測得3個震波,則width="22"式成立,可判別,若依然只測得2個震波,重複同樣步驟即可。

若在距離為width="22"時能測得3個震波,取 ,若在距離width="22"時只測得2個震波,可知width="22"滿足width="22"式,取width="22"為距離即可,若在距離width="22"處仍測得3個震波,重複同樣步驟。

所以我們可以選取適當的width="16",測出,而

可解出width="16"width="16"width="10"

 
 
 
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