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極值》
範例 45:逆風而行的帆船
帆船前進的動力來自風力,然而帆船卻也能逆風而行。乍聽之下似乎不可思議,但事實上只要將船身和船帆的角度調整得當便可達成。不過船的前進方向並不是完全正逆著風,究竟該怎麼調整帆的角度與船前進的方向,才能使船前進的速度最快呢?
《 解答 》
圖一

height=223

圖一為帆船的俯視圖,width="13" 代表風力,由正北方往南吹,width="13" 可分為 width=26width="19"兩個分量,width="19"與帆的方向垂直,width="19"與帆的方向平行,如圖二所示,實際對帆有影響的力為width="19"

 

圖二
圖三
width=175
width=243


所以船受到的力為 width="19"width="19" 可分為 width="19"width="20" 兩個分量,width="19" 與船的方向平行,
width="20"與船的方向垂直,如圖三所示,由於船的結構與水的阻力,width="20" 能使船橫移的程度有限,在此忽略不計,所以真正能使船前進的力為 width="19",而 width="19" 有往北的分量,此一分量越大,船往北速度的分量就越大,那麼究竟在 width="43" 三個角的角度為何時,width="19" 往北的分量會最大呢?

width="19" 往北的分量為 width="19",由圖三可知



由圖二可知

固定,

width="43" 滿足 的最大值為一條件極值的問題。

width=12width="28" 表示,



極值發生在


width="43"在極大值發生時皆不為 0,否則


,代入(1)式。









。此時船受到往北的力最大。

本題也可用Lagrange multiplier的方法來做,

考慮

width=16為待定係數。有極值時,



同減width=16,再同除



在這樣的情形下,船受到往北的力量最大,而船往東偏北width=31前進,而若將船頭朝向西偏北 width=31,船帆朝西偏北width=31,此時船受到往北的力量也是最大 ,而船往西偏北width=31 前進。

若欲由width="14"地乘帆船到正北方的width="14"地,此時吹著正北風 ,那該如何操帆掌舵才會最快呢?

圖四

width=202


如果要最快到達width="14"地,則船所受到往北的分力在任何時刻都必須是最大的,
,船頭往東偏北width=31或是往西偏北width=31,最簡單的一個方法便是從width="14"點往東偏北width=31 出發,到達width=34中垂線上的width=20點,再折往西偏北width=31前進,就可用最短的時間到達width="14"了。(此為風向皆由正北朝正南吹的情形)



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