| 範例 43：傳播學的謠言擴散模型 |
假設謠言就像傳染病，聽到的人一定要轉告給別人（沒有智者的八卦城市），則謠言的擴散會滿足Logistic模型：
現假設在台灣某次選戰中，甲方為求勝選，決定造謠抹黑對方，但為了出奇制勝，決定在選舉前兩天才派人造謠，假設小城有10000選舉人口，且根據經驗， 。試問：
（1）如果甲方希望能在選舉當天有過半數的人知道這個謠言？他至少必須派出多少人的造謠部隊？
（2）如果甲願意將時間移為5天前？他又該怎麼做？
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| 《 解答 》 |
| 何謂Logistic模型？
在了解Logistic模型之前，要先知道英國經濟學家馬爾薩斯（Malthus）在 1798
年發表的 "人口原理" 中，提出下述人口成長模型：
人口的成長率與總人口數成正比
寫成數學式則為： ，其中 表示時間 的人口數。
而比利時數學家 Verhulst 在 1840 年修正了馬爾薩斯的人口模型，他認為：
人口之成長不能超過由其地域環境所決定之某最大容量
於是提出下面的模型，通稱為Logistic模型：
， ，
這方程的意思是： 在人口相對少時，基本上馬爾薩斯的模型是對的，
但當人口相當多時，人口成長率便會趨緩，而且越靠近人口上限時，成長率越小。
如何解微分方程？
利用分離變數法，記 有  ，兩邊積分後，
左式  ，
其中 是常數，
而右式  ， 是常數，於是
 ，
 為常數，
最後再化簡得  ， 為常數。
若設初始條件 ， ，則 
回到原問題，此時 ，，
現在是希望找到在  時刻的  為多少的時候會使得兩天之後的值大於5000？
即找使得 ，於是  ，
 ， 至少要派180人。
同樣地，若將時間改為五天的話，即解不等式：
 ，
於是  ，
∴他自己一人散佈即可。
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