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範例 35:狗追兔子的問題
在座標平面上,兔子由(0,0)出發,以等速 q 沿著 x 軸向右逃跑,狗由(0,a)出發, a > 0,狗頭始終瞄準兔子,以等速 p 追兔子,請討論狗在何時可以追上兔子?
《 解答 》

設狗跑的路徑為 ,則有

.........(1)




........................(2)


由(2)

兩邊對 width="9" 微分,得 ,得

................(3)

 

 


將(1)除以 width="38",得 因此

............(4)

 




將(4)代入(3),得

................(5)

width="8"width="8",(5)寫成

分離變數法:

積分:



初始值:



因此



兩邊平方後整理:



.............(6)

 

 

第一種情形:

初始值:,得到 ,那麼

如果 ,令 ,得出

狗在 追上兔子,需時

如果 。當 ,狗追不上兔子。

第二種情形:。 (6)式變成



初始值:,得 ,則



時,同樣有 ,因此狗也追不上兔子。

不過, 狗追不上兔子是常識。

本文參考:Agnew, Differential Equation 2nd ed. P.51. Problem 2.456。


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