臺灣大學數學系

九十一學年度第一學期碩博士班資格考試題

 機率 (Probability)

Sept 11, 2002

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以下五題，每題20分

(一)

(1)

寫下三事件，為兩兩獨立（pairwise independent），但三事件不獨立。

(2)

$X,Y$為Gamma分佈,分別為G(α,λ),G(β,λ),且$X,Y$獨立,求$X+Y$之分佈. 註：G(α,λ)分佈之機率密度函數為 $f(x)=\lambda^{\alpha} x^{\alpha-1} e^{-\lambda x}/ \Gamma(x) \cdot 1_{ \{x \geq 0 \} }$

(二)

何謂階數為$n$之Berstein多項式？證明：任一 [0，1] 上之連續函數，可用一列Berstein多項式均勻逼近。

(三)

以$X_p$表現出正面機率為p之銅板過程中，首次出正面所須次數；證明：當 $p\rightarrow\infty$，p$X_p$弱收斂到一個指數分佈。

(四)

已知$\{ X_n \}$為一平賭（martingale），$a$為一常數，證明 $(X_n-a)^+$為一劣賭（submartingale） ，而 $X_n \land a$為一優賭（supermartingale）

(五)

令$p(x,y)$為時間齊性（time homogeneous）， 離散值的Markov鏈的遷移機率（transition probability）， 何謂一機率$\mu(x)$ 為過程的平穩分佈（stationary distribution）？何謂$\mu(x)$為過程的可逆機率測度（reversible measure）？何者較強？（寫下理由）

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