臺灣大學數學系

八十九學年度第一學期碩博士班資格考試試題

幾何

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1.

自行車之內胎為一torus曲面, 拆除其內側之打氣孔, 形成一破洞, 此曲面之fundamental group $\pi_1$ (torus-small disc) 是否為交換群? 若然, 此群是否為 free abelian group? (25/100)

2.

Riemannian metric $$ds^2=dx^2+dy^2 + \frac{(x\ dx + y\ dy)^2}{x^2+y^2} \quad (x^2+y^2 \neq 0)$$, P=(1,0), Q=(0,1) 由P點至Q點作平行移動, $\gamma_1 = \{ (1-t,t) \vert 0 \le t \le 1 \}$ 為直線段, $\gamma_2 = \{ (\cos t, \sin t) \vert 0 \le t \le \frac{\pi}{2} \}$ 為圓弧, 沿此二路徑平行移動之結果相差若干? (25/100)

3.

$\vec{B} = \nabla \times \vec{A} = \mbox{curl}A = \mbox{det} \left \vert \begin{... ...rtial_x & \partial_y & \partial_z \\ A_x & A_y & A_z \end{array} \right \vert$ 若 $\mbox{div} \vec{B}=0$, 則稱$\vec{B}$為incompressible vector field.
若 $\vec{B} = (B_x,B_y,B_z) = (-x^2+yz, xy+z^2, xz-y^2)$, 則$\vec{B}$是否為incompressible? 若然, $\vec{A}=(?,?,?)$ (25/100)

4.

$\gamma= \{ z=2xy, x^2+y^2 =1 \}$ 為一空間曲線, $P=(\frac1{\sqrt{2}}, \frac1{\sqrt{2}},1) \in \gamma$, 在$P$點之torsion τ是否為零? 若然, 在$P$點之曲率$\kappa=?$ (25/100)

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