臺灣大學數學系

九十學年度第二學期碩博士班資格考試試題

 分析

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以下

（一）至（五）為實分析，選作四題，第（六）題為複變。

（一）

若$f$為Lebesgue可測，且 $\{x:f(x)\ne g(x)\}$為Lebesgue測度零。證明$g$也是Lebesgue 可測。以上命題對Borel可測是否成立？說明理由。

（二）

已知$\{f_n\}$在$L^p(d\mu)$，$p>1$，意味下趨近於$f$，證明$\{f_n\}$在測度意味下也 趨近於$f$。在此，$f_n, f$在[0,1]上Lebesgue可測，而μ表[0,1]上之Lebesgue測度。
以上命題之逆是否仍成立？說明理由。

（三）

設$f(x)$，$x\in [a, b]$為有界變分函數(function of bounded variation)，證明 $f'(x)$存在， $a. e. x\in [a,b]$且證 $\int^b_a\vert f'(x)\vert dx\leq V_f[a, b]$。上式左項為$\vert f'(x)\vert$之 Lebesgue積分，右項為$f$在$[a, b]$上之全變分(total variation)。

（四）

同上，設$f(x)$為單調遞增，是否有 $\int^b_af'(x)dx=f(b)-f(a)$？說明理由。若否，說 明可使等號成立的一個充份必要條件。

（五）

若 $f\in L^2(0, 2\pi)$，證明 $\lim\limits_{k\rightarrow \infty}$ $\int^{2\pi}_0f(x)\cos kxdx=0$；
證明此對 $f\in L^1(0,2\pi)$也成立。

（六）

利用Cauchy定理，關係式$2i$sin $z=e^{iz}-e^{-iz}$， $z\in {\mathbb{C}}$。
求以下極限：任一 $t\in {\mathbb{R}}$， $\lim\limits_{A\rightarrow \infty}$ $\int^A_{-A}{{\sin}x\over x}$ $e^{ixt}dx$
提示：考慮 $\int_{\mu_A}{{e^{isz}}\over z}dz$，$\mu_A$適當之圍道(contoar)。

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