臺灣大學數學系

八十八學年度第二學期碩博士班資格考試試題

 代數

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線性代數: 30分

(1) 解釋名詞: Rational canonical form.
(2) 設 $A$ 和 $A^\prime$ 是兩有理係數的方陣, 互為轉置.

求證 $A$ 和 $A^\prime$ 有相同的 Rational canonical form.

群論: 20分

(1)

設 $G$ 是一個有限群, $U$ 是 $G$ 的一個非空子集, ($U$不一定是子群). 定義 $H=\{g\vert g\in G$ 且 $g\cdot u \in U, \forall u\in U \}$
求證 (1) $H$ 是 $G$ 的一個子群

(2) $H$的個數整除$U$的個數

(2)

設 $A$ 是一個可換群,被$x,y,z$三元素以下列關係生成: $3x+2y+8z=0, 2x+4z=0$ 請把 $A$ 寫成(無窮和有限的)cyclic subgroup 的乘積(direct produce of Cyclic subgroups)

環論: 30分

(1)

characteristic 為 0 的體中, 有 $n$ 個元素 $u_1,\cdots,u_n$
今設 $u_1+u_2+\cdots+u_n=0$

$u_1^2+u_2^2+\cdots+u_n^2=0$ $\vdots$ $u_1^n+u_2^n+\cdots+u_n^n=0$
求證 $u_1=u_2=\cdots=u_n=0$

(2)

$p$ 為質數, 求證 $x^{p-1}+x^{p-2}+\cdots+x+1$ irreducible over $\mathbb{Q}$

體論: 20分

$p$ prime,並設正 $p$ 邊形可以尺規作出, 求證 $p$ 一定可以寫成 $2^r+1$, $r$ 為某一個正整數.(例如 $p$ 可能是 $17=2^4+1$)

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