臺灣大學數學系

八十七學年度第二學期碩博士班資格考試試題

 代數

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線性代數

1. 平面上 $x^2+2xy+3y^2=1$ 的軌跡是一個橢圓, 試證之.
   又在已知是一個橢圓的情況下, 求其長軸, 短軸.
2. $n$ 為正整數, $A$ 為一 $n$ 階的正交方陣, 即 $A' \cdot A=I$, $A$ 是實係數方陣, $A'$ 為 $A$ 的轉置矩陣, $I$ 為單位矩陣. 若將 $A$ 視為 $n$ 維歐氏空間到自身的一個線性變換, 求證:
   $A$ 可表為一系列鏡面反射的乘積.(請至少證明 $n=2$ 和 $n=3$ 的情形)

群論

1. $p(\geq 2)$ 是一質數, $G$ 是一有限群, 含有 $p^2$ 個元素,
   1. 求證 $G$ 一定是 abelian (可換群).
   2. $G$ 有幾個 isomorphism class?

環論

1. 令 $\Delta(a, b, c)=$ 具邊長 $a, b, c$ 的三角形的面積 $(a, b, c>0, a+b>c,b+c>a,c+a>b).$ 已知 Δ 是 $a, b, c$ 的對稱函數. 求證 Δ 不能表成 $a, b, c$ 的對稱多項式.

尺規作圖

1. 詳細說明為什麼``無法以尺規三等分任意角''.

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