臺灣大學數學系

 八十七學年度第一學期碩博士班資格考試試題

代數

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  1. 在 $S_5$ 中有無 order 為 20 的元素? 試證之.
  2. 證明 $\mathbb{Z}[{\sqrt {-2}}]$ 為一 Euclidean domain.
  3. 設 $G$ 為一 finite group 且 $\mathbb{Z}[G] = \{ \sum_{g \in G} a_g \cdot g : a_g \in \mathbb{Z}\}.$ 現定義 $\mathbb{Z}[G]$ 中的加法及乘法如下:
    如果 \({\displaystyle{x=\sum_{g \in G} a_g \cdot g, y=\sum_{g \in G} b_g \cdot g}}\) 為 \({\displaystyle{\mathbb{Z}[G]}}\) 中元素
    定義 \({\displaystyle{x+y=\sum_{g \in G} (a_g+b_g) \cdot g, x \cdot y=\sum_{g \in G... ...yle h_1k \in G \atop \scriptstyle h \cdot k=g} a_k \cdot b_k \big) \cdot g}}\)
    1. 證明 $(\mathbb{Z}[G],\hbox{十},\cdot)$ 成一 ring.
    2. 這個 ring 是否為一 integral domain?
  4. 求 $x^4-3$ over $\mathbb{Q}$ 的 Galois Group.
  5. 設$N$ 為一正整數
    1. 證明 ${1 \over N}$ 為一循環小數
    2. 如果用以十為底的記數法表示, $N$ 為一 $k$ 位數, 且 $N$ 與 $10$ 互質, 證明 ${1 \over N}$ 的循環節至少為 $k$ 位.
  6. (1)設$a, b, c$ 為任意複數, 證明 $ \left[ \matrix{a&b&c \cr c&a&b \cr b&c&a \cr} \right] $為可對角化.
    (2)對任意$a, b, c, d$, $\left[ \matrix{a&b&c&d \cr d&a&b&c \cr c&d&a&b \cr b&c&d&a \cr} \right] $是否必可對角化?
  7. 求 $e^A= \sum_{n=0}^\infty A^n \,/\,n! ,\, A=\left[ \matrix {1&2 \cr 4&3 \cr} \right]$.
  8. (1) 求 $\mathbb{Z}\,/\,(1998)$ 的所有 maximal ideals.
    (2) 求 $\mathbb{Q}[x] \, / \, (x^{1998}-1)$ 的所有的 maximal ideals.


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