建構教學，計算能力與九年一貫數學教育

〔專文區〕

許世壁（清大數學系）

一、國小數學建構教學

有這麼一則有關「數」的故事：從前有一位農夫送他的兒子到私塾念書，第一天夫子只教他寫「一」，第二天只教他寫「二」，而第三天也只教他寫「三」。這個兒子第四天就告訴他父親他已經會寫字了，不用再上學了。既然如此這位農夫也就信以為真。有一天這位農夫要請一位姓萬的客人吃飯，要他的兒子幫他寫請帖，結果等了半天，他的兒子還在寫，寫個不停，告訴他爸爸已經畫到一百了，兩百了，......。

這個故事可以適當地說明自從民國85年國小實施建構數學後，全國許多家長對它的評價（包括我在內，我的女兒目前就讀國一，是建構數學第二代）：「為什麼我的孩子算得那麼慢？真是皇帝不急，急死太監！」當美國教育界還在爭論他們的中、小學數學教育是否應該採取建構教學時，我們台灣在82年時就很勇敢地一頭栽下去，國小數學馬上捨棄傳統行之多年的「吸收論」及「客觀主義」而改行建構教學。

建構數學有革命性的理念，它認為數學的概念與技能，必須由兒童自行建構，無法由教師灌輸而獲得，數學教學應該配合兒童的實際生活進行（見胡志偉教授文章）。由於建構教學並未考慮我們的社會文化背景，教育當局並沒有對第一線教師做正確的宣導，以至於教師對建構教學的執行產生偏差，以及教科書的審查委員為了執行建構教學崇高的理念，嚴格要求教科書禁用九九乘法表等，造成今日學童計算能力低落。有很多家長為了彌補這個缺陷，紛紛自力救濟，送孩子到補習班加強計算（我女兒班上則由一位熱心的家長每星期五利用早自習一個鐘頭教他們分數四則計算及其應用，一共花了一學期才把他們的計算能力提高）。

雖然上個月林福來教授及洪萬生教授發表他們對國小四年級的統計數字證明建構教學訓練出來的學生比傳統方法訓練的學生好很多，我相信社會大眾根本聽不進去。如能對國小五、六年級學生做比較，應很容易證明建構式教學造成今日學童計算能力低落。

我認為建構教學有它的優點，但應該是老師建構，學童瞭解，對於有困難瞭解的學童才須他們自己建構。目前實施的國小建構數學充滿了許多枯燥、冗長無味的機械式運算（這剛好是建構教學批評傳統教學的缺點），長期下來造成學童對數學的反感（數學是無趣，無聊的！）及計算能力的空前低落。譬如96÷8＝12，老師告訴學生必須依96－8＝88，88－8＝80，......，8－8＝0共12次，得96÷8＝12。這讓許多家長為之發瘋。

偉大的數學家高斯晚年常愛提起一則童年往事，數學家們也一直津津樂道，那是他小學的光榮歷史：有一次，老師叫全班算出一加到一百等於多少，高斯輕輕鬆鬆就寫下5050 （（100/2）×（100＋1）＝5050）。這個故事主要告訴我們智慧戰勝苦力（尤其是老師強迫做的苦力），此外，這個方法也看穿了許多問題（等差級數）的內涵（inside），給了一個「優美答案」（elegant solution）。從這裡我們得到很大的啟示，不論在數學或其他領域，重要的並非僅僅得到解答而是如何得到它！（見《宇宙的詩篇》，天下出版社）

由於國中、國小的數學內容皆是非常古老的數學，二千年前的數學。台灣的數學教育至少累積了五十年的經驗。現代電腦的發明與運用對於學習這些古老、簡單的數學的影響微乎其微。照理講我們傳統的數學教育相當成功，我們數十年來培育出來的人材其數學程度讓許多國家羨慕不已。我們菜市場歐巴桑的計算能力比用電算器的一般美國人強多了，那我們為什麼需要引入建構教學？或許建構教學訓練出來的學童比較會思想、發問，但學童計算能力差到嚴重地影響他們學習日後國中、高中數學。依我六年來陪伴我女兒學習建構式數學的經驗，計算能力差還可以彌補，最令人痛心的是不停在乘、除法上建構，讓學童覺得毫無挑戰性可言（比起她作文、學鋼琴得到的喜悅），國小數學建構教學強調讓學童動腦筋，但對於如何運用加法、減法、乘法、除法的應用題卻少著墨（因此我們買了一本大陸出版的《國小數學100天》讓我女兒練習做，她也做的很好！）。在台灣建構教法也讓家長們憂心忡忡，不像從前那麼信任學校。

最後我要在此討論計算能力。很明顯地數學家與數學教育家對此有非常不同的看法。翁秉仁教授在他的文章裏以騎腳踏車來說明培養計算能力的重要性。凡事「熟」能生「巧」，我並看不出熟記九九乘法表有害於瞭解兩個數相乘的建構意義。熟悉九九乘法表及能做簡單心算就如同背誦唐詩、宋詞一樣。背誦唐詩雖然不見得完全瞭解其意境，但時間一久就能瞭解其奧妙。本人在美國當研究生時有幸教了美國人兩年的大學算術，知道缺乏長期演練，其數學程度變得很差。但他們說起為什麼就長篇大論，可是做數學就必須要有起碼速度。美國人的計算能力不夠紮實、不堪一擊，因此在美國研究所學科學、工程大部分由外國人包辦，不知我們台灣十年後是否也會這樣？

傳統機械式的計算訓練有其優點，它至少幫助學童日後在應用分數四則運算到代數問題時能得到正確答案，比起建構教學冗長的建構（這是台灣實施建構教學的怪現象！）至少有用多了。計算是理解數學（含國中數學、高中數學、大學微積分）不可缺的能力。如能在我們現有的基礎做一些修正，保持我們的優點，針對它的缺點（如楊老師所提的有些學生做教室的客人......），盡我們最大的努力去改進國小教學。

台灣國小教育一向很成功，是很多國家學習的楷模，我們的國小老師是一群有愛心、有理想的優秀教育工作者。由於我們國小學童沒有馬上升學的壓力，因此我對未來國小數學很有信心。教育乃百年大計，千萬不要為了某種學說崇高的理念（如皮亞傑的認知心理學）就冒然作全面性的變革。傳統的教學方法，由於我們累積了五十多年的寶貴經驗，它的優點、缺點，我們非常清楚。教改人士常被批評太燥進就是因為他們急於改革（好像不馬上改革天會塌下來！）而沒有看見傳統教學的優點。如果建構教學的缺點能被改進讓它更適合我們的社會、文化，再加上能保持我們傳統教學的優點，我們的學童必能快快樂樂學習六年國小數學，在他們進國中前能得到很好的數學能力。

二、九年一貫下的國中數學教育

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有這麼一則真實的故事：三年前中正大學數學系林長壽院士及數位國內質疑建構數學的數學人士一起到教育部為全國國小學童「請命」。教育部官員笑瞇瞇地告訴他們建構數學已不是問題了，我們用九年一貫數學解決它了。這幾位諸公信以為真，就高高興興地帶回《九年一貫數學學習領域暫行綱要》，但回來仔細研究其內容，才發現『代誌』大條了!

九年一貫數學有其崇高且令人敬佩的理想：要讓百分之八十的學生學懂數學，快樂學習數學。在操作上，透過教育鬆綁，讓老師能針對學生需要，自己編教材，因材施教。因此《暫行綱要》數學學習內容是以教授國民生活上需要的數學技能為最低要求，對於數學能力較好的學生則透過分組教學，教授較深的數學內容。實施九年一貫國中數學今年進入第二年，有許多負面的影響逐一出現，現我在此詳細討論：

由於《暫行綱要》數學教材內容為最低基本要求，實施後大部份國中教師為了要讓百分之八十的學生學懂數學（這是一件非常鉅大的工程！）已經用盡了大部份精力照顧後段班的學生因而無法編寫及教授適合程度中等以上學生的額外教材，造成前段班學生覺得數學太容易，枯燥無味，沒有挑戰性。雖然它減緩後段班的問題，但是前段班學生如同楊老師所講的變成教室中的客人。
根據一個人智力的成長理論，在15歲前，我們必須給與我們學生適當的挑戰與刺激。我實在無法想像以目前簡單的教材，一星期五小時數學課程，對前段班學生而言是種煎熬，因為他們在浪費他們的青春，等待後段班學生學會。世界上沒有一個國家像台灣那樣為了後面百分之五十的學生，犧牲掉前段百分之三十的學生。我們一向很自豪台灣中學教育訓練出來的學生有很紮實的數學根基，很好的數學程度。如今為了解決後段班的問題自廢武功，令人百思莫解。大家都知道台灣正常教育發展的罩門是升學主義：考試領導教學。我們精心設計的國中基本學力測驗，變成了二次聯考，這是一件非常無可奈何的事情。為了應付國中基本學測，大部份國中教師只願意教不超過《暫行綱要》範圍的教材，這與當年所設計的理想相差很多。《暫行綱要》不僅是最基本的要求，而且也變成最高的要求！可憐的學生為了升學，一昧在練習那些非常簡單的數學所炒作出來「艱深」的題目。

雖然許多教育家不喜歡談競爭力，他們比較會為學習能力較差的後段班學生著想。但是現在是一個知識經濟全球化的年代，我們不能只要「全民教育」，我們也要「精英教育」。芬蘭因為一個人發明了手機，成立Nokia公司，全國GNP就可靠它提高很多。我們現在已面對來自日本、韓國、中國大陸、新加坡及歐美等國的競爭，未來的競爭將更劇烈。依目前《暫行綱要》對學生的要求，我們相當擔憂日後我們訓練出來的科學、工程、管理及財經人材如何與其他國的人材競爭（見第三點的解釋）。

九年一貫國中小數學的內容應該回到83年版的數學要求。在國小部份，減少冗長的乘除建構，加強計算能力且要教到正分數的四則運算。這一部份在數學時數增加後，應該沒問題。由於九年一貫數學非常強調數學生活化，學習數學運算必須講求情境。在國小數學部份我也同意應該如此，以避免傳統教學不求甚解、機械式運算的缺點。但是在國中的部份，數學不再應該只為了生活化（菜市場歐巴桑不需要懂得如何解一元一次方程式）。數學開始發揮它的威力（power），漸漸地抽象化的數學應變成主軸，有許多很難表達情境的數學運算，如兩個分數的相除，兩個負數的相乘等，與其舉出很難或虛構的情境倒不如回歸數學本身的連結。九年一貫數學最令我無法接受的就是它將所有的歐幾里得平面幾何拿掉。我們的國中生沒有機會從幾何學學習基本的推理與証明。歐幾里得幾何學不僅是數學及其他科學研究的工具，也是全世界標準教育的基本環節-一個知識的工具，全世界每位年輕學子都得與它奮戰一段時間，然後融會貫通，據為己有。我很失望在幾個月前舉行的討論會中負責九年一貫幾何教學的陳創義教授強調國中要教的是「有用」的幾何。我們目前看到國二的幾何課就像勞作課。去掉抽象思考、推理與証明，它就不是幾何。幾何不是沒有用，相反地它是非常有用，只要我們懂得足夠多的知識後，它就會發揮它的威力。目前這種勞作幾何教學對於日後要從事科學、工程、管理及財經等領域的國中生是非常不恰當的，以後他們很難銜接高中數學。

最後我在此提一下諾貝爾物理得獎人Richard Feynman，在他的〈物理之美〉的演講中對數學的評語（見《物理之美》，天下文化）：

數學是一種語言加上推理

也像一種語言加上邏輯

透過數學，某一描述可以和另一描述結合；

拿下棋當比喻：棋子移動的規則就是物理基本定理，

而數學則是在複雜的形勢中，被用來決定如何下一著好棋的方法。

　

三、如何彌補目前國二、國一及小六這三屆的數學程度

由於教育部已經決定自94年度起，九年一貫數學教學將採用修正版的綱要。對於執行日後與國際數學教學同步的《修正綱要》，我們仍需要花心力照顧後段班同學，這就需要第一線國中老師們的辛苦及幫忙，透過學校的組織力量實施分組教學（不是能力分班）來因材施教。由於目前國二、國一及小六這三屆學生還是要依《暫行綱要》學習數學。在第二點中我們已說明了《暫行綱要》的缺點除了教材過於簡單外，尤以刪掉平面幾何最為嚴重。對這三屆學生，其國中基本學力測驗仍將遵行《暫行綱要》內容，因此我建議學校為了學生將來能順利銜接高中課程，應以分組教學的方式，用83年版國中課本，訓練有志升高中之學生研習平面幾何。雖然，國中基本學力測驗不考，但學習不見得只為考試，家長或許也可以自力救濟，也唯有如此，升高中後這三屆學生才有可能快樂學習。另外一個方式就是未來這三屆學生上高中後，增加數學教學時數，彌補國中應學而未學的教材。由於我女兒目前就讀國一，因此我謹以一位焦慮的家長身份，希望大家一起來思考如何幫忙這三屆學生。

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