 〔專文區〕 |
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| 這裡談的教育改革，指的是台灣自從建構教學開始實驗後，所帶來的台灣國民中小學數學教育的變革，一直到目前的《九年一貫暫行綱要》，仍然在持續中。當然我們也可以將它擺在這一波以美國為首的數學教育改革風潮這個大背景中來看，這是因為他們共享許多數學教育流行的理念，也共享主要的「阻力」─數學家。 數學教育學科的昌盛，許多數學家都曾經樂觀其成，畢竟數學教育的研究，應該有助於整體學生數學能力的成長。但是，自從NCTM推出《中小學數學課程與評量標準》為整個數學教育成果結晶定調之後，數學家的「雜音」就慢慢出現，成為舉世皆然的現象。這並不是數學家第一次扮演烏鴉的警世角色，六０年代的「新數學」運動是由純數學家自己推動的，目的也是要提高國家的競爭力，但是由於陳義過高，太過抽象，被數學家同儕砲火猛轟，消失於無形。這一次的「新新數學」，有了前車之鑑，而且是由數學教育家領軍，照理說應該更貼近教育現實，但是數學家依然砲聲隆隆，原因究竟何在呢？ 在這裡我們要先澄清一些誤解，首先，數學家之所以關心這個問題，都不是基於政治或資源的原因，因為國民數學教育與數學學術研究雖然有共同的淵源，在資源分配與工作交集上，卻一向都是風馬牛不相及，事實上大部分的數學家，對國中小數學教育，都沒有什麼概念。其次，數學家介入也不是因為害怕數學的傳承，會因為現在的改革而中斷，如果只是因為這個理由，他們只要確保資優學生管道暢通就可以了。數學家之所以焦急，其實是因為自己是一個「比一般人懂數學」的學生家長。他們在深入理解這些新的教育改革理念後，發現有些事情說不通、有矛盾，而且影響深遠，涉及到所有的學生，所以才基於社會責任要發聲疾言，希望能振聾發聵。 |
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| 台灣對於數學改革的這股「數學家逆流」的反應，好壞都有。但是從許多反對的意見，卻也看出早年傳統教育（尤其是數學教育）在許多人身上烙下的疤痕，以致於許多反應，讓人看得啼笑皆非，只能慨嘆不已
[1]。其實簡單的說，數學家只擔心一件事，這一波數學改革是否眼高手低，「在倒洗澡盆的水時，連嬰兒一起倒掉了」。 重視生活情境、概念理解、解題（problem solving）、排斥傳統計算程序的練習是這一波數學改革的主要特色。改革者常認為過去的數學教學，過於重視形式程序，以致於忽略數學日常生活應用的重要性，對數學概念又不求甚解，因此無法有效、有策略的解題。暫且不論這些批評，對傳統教學是否妥當，但是從台灣數學改革的實踐來看，他們其實作得更有問題。底下，筆者試著將一些問題，作更仔細的探討。
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1 許多數學家並不是只懂公式與邏輯的怪物，許多人都曾走在410的行列（雖然九年一貫是該批評），他們也不是保守主義者。 | ||
不自然的偽生活情境 |
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人類的知識，取之於生活，用之於生活，重視知識的生活面或應用面，是天經地義的事情。生活本來沒有偽不偽的問題，生活中的問題就是問題。但是在數學教學時，沒有人會直接帶入完全真實的生活情境（這與巴西街上的小販是完全不同的兩碼子事）。在課本中（不管建不建構）的生活情境題，都是修整過的問題，目的在為教學服務 [2]。 為了要讓學生能真的享受到生活情境的好處，那麼在教學或課本中，若要納入生活的問題，首要條件就是要「自然」。這個問題的枝節也許比日常生活簡單（科學家也常這樣做，叫做理想情況），但是在語言的使用必須不離常識、多樣化、並能與其他人溝通，不然就只是在創造封閉的新語言。 下例選自建構課本，類似的例子非常僵硬地充斥在課本各處。
如果要分給12個人，他們就會將問題改成：
令人疑惑的當然是，這與蘋果的顆數有什麼關係？下面這個問題，是能問還是不能問呢？
重點是大家是要分蘋果，不是要分盤子。日常生活沒有人這樣講話，學生在社會上根本用不著。 文法類似但語意完全不同的是這個問題：
這個典型的單位換算問題是合理的，1打就是12個，這是數學的約定。但是1個盤子擺了5顆蘋果是偶然的，兩種問題看起來類似，其實大不相同。 學有理數時，較自然的情境是連續量，說「0.1盒冰淇淋」就是比「0.1盒冰棒」來得自然合理。也沒有人會先數完盒內有10根冰棒，然後才戰戰兢兢說我要0.1盒冰棒。一個人要嘛說「我要1根冰棒」，或者，他可能說「我要半盒」，這時大家不用去數，也知道說的人意思是要對分盒中的冰棒，如果分不平再說。 重點是這種佈題方式是不自然的，根本與數學改革課程應與生活結合的信念相矛盾。這個矛盾，也可以從九年一貫在選用量的單位時的態度，看得一清二楚。他們非常執著於自己選定的單位（例如將「公尺」稱為「米」，公里稱為「千米」），姑且不論他們有多合理的理由，度量衡單位是社會的約定，小學教學本身就是要教導這項約定，除非整個國家通過改動度量衡單位，不然根本沒有綱要小組置喙的餘地。另外，他們禁止在課堂上出現其他日常生活常用的單位，因此學生不能學「台斤」「坪」之類的單位。這是典型的閉門造車，又違反自己數學要與生活結合的理念。
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2 因此，並不存在真正提倡生活情境的教師，不然就應該在街頭上數學課。 |
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過度強調生活情境 |
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台灣建構的教師由於強調生活情境，對單純的算式問題常感到不安，經常會反射地問自己，這個問題有什麼情境。對初學者來說，與生活的結合本身可以提供概念學習的基礎，也能夠協助解題。因此，將問題與生活作連結，本身當然是一個恰當的教學策略。 但是將生活情境與算術問題連結得太緊密，往往造成無法就問題思考問題，反而嚴重破壞學生的抽象能力，而抽象能力卻是數學的核心能力之一。學生作一道普通算式題，如果一定要依賴生活情境來解題，在初學也許是必須，但是若到最後還這樣，那就是教學的失敗。數學形式的操作能力被情境鎖死，就很難再往下走了。 因為如果學生總是將算式想成情境的記錄，而不具有內在意義。就會損壞學生學習高深數學時，所需要的更高層直覺。舉例來說，小學生到四年級時，應該已經覺得自然數很自然，就像家人一樣，這種數字感是一種新的具體直覺，使學生能脫離層層形式規則的束縛，太依賴情境就無法走到這一步。當五年級，學生開始學習因數、倍數的觀念時，所依賴的就是自然數這種既具體又抽象的層次，生活情境的介入只會干擾學習。 |
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| 另一個例子是，不知道為什麼，台灣建構完全不教導乘法的「排列模型」，例如將4×7想成4個一排總共有7排，事實上這個模型在小朋友用花片、圓片之類的教具，學習「幾個一數」時就可以出現（例如4個一數）。它在教導學生乘法性質與解題時（例如乘法交換律），是一個自然地由生活情境往抽象表徵過渡的美好模型。將乘法限在連加的死胡同中，不背九九乘法已經夠糟糕了，台灣建構又不教導這個乘法模型，我們只能說它是完全深陷於建構與生活情境的教條
[3]。 另一個更明顯的例子，是九年一貫暫行綱要，要求國中時要「能在情境中理解等量公理。」結果讓國一課本充斥著用天平的生活情境來處理等量公理的情況。事實上，等量公理是檢驗溝小學生是否具有數感的最佳指標，只要學生在數量運算上能自在處理，等量公理就只是一個經驗的總結。事事都依賴普通生活情境的數學，根本走不遠。 數學家特別擔心學生不能流利運算的原因，並不是說運算有什麼了不起，而是流利本身會產生一種新的自信與直覺，對小朋友的未來更有力。大家自己想想小朋友學騎腳踏車、學打球運動、打電動的例子就知道，入門後與入門前的差別，絕對不只是一門之隔而已，而是一道鴻溝。 |
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據說建構不教排列模型的原因，是因為它是一個較難的「面積模型」，這是典型的倒果為因，應該說這個排列模型是面積計算的前置經驗才是。我們再一次見識到，死守小朋友自行「建構」的弱點。 |
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| 數學程度提升後的自然結果，就是簡單生活情境會慢慢消失（因為處理完了），具體情境（隨著學生的抽象程度增加，「具體」的內涵也會跟著抽象起來）會慢慢取代生活情境，作為數學教學的前置經驗，我們通常稱為「個例」「經驗」。另外，數學與生活的關係並沒有消失，生活情境在更深的應用脈絡中慢慢複雜化，並且開始在應用學科中出現。生活本身沒有消失，而是因為現實世界的複雜深入，而有了不同的層次
[4]。
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就這點而言，數學學習更高階段的情境，要換成「具體情境」與「應用情境」，只是在小學的中低年級時，這兩者相同，合稱「生活情境」罷了。 |
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概念理解不能孤立獨存 |
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這波數學改革十分重視數學的概念理解，與生活情境相同，這其實是不辯自明的。既然是數學家，當然知道數學概念理解的重要性。但是不是數學家的人，卻往往忽略另外一個非常緊要的問題：在數學學習的過程，不能單談概念的理解，過於強調數學概念理解的優越性，會造成一種迷思，以為只要能理解數學概念，就能順利地往上學習新的數學概念與課題。 |
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| 讓筆者引一段《談建構數學》[5] 中的話：「學習數學到底是要記誦公式，還是理解數學原理，一直都是高中、甚至大學生學數學時的疑惑。在我們學習數學的成長經驗中，的確會有一種慢慢往以簡御繁的抽象原理靠近的傾向，發現背公式是零碎沒意義的，應該要理解一以貫之原理。但是，往後隨著眼界的開闊，與實際問題的要求，又會再次發現不能光只是停留在抽象原理的層次，必須回到個例、實驗與計算的層次。藉由這個辯證的學習過程，我們才能自在地出入於一般/個殊、抽象/實際之間，不自泥於素樸直覺的零碎個例，也不會迷失於抽象的符號叢林中。」 | 5 〈談建構數學〉 | ||
| 過份強調概念理解，會產生「眼高手低」的問題
[6]。學習數學，如果輕忽甚至鄙視計算能力、證明細節與核心範例的熟練，那麼數學概念就會越來越抽象貧瘠，不能自在操作、失去方向感。最後會失去學習數學最重要的具體直覺或整體數學感。 這種情況很像我們使用語言，沒有小朋友學中文，是先學清楚一個中文字詞的語義的。我們對語文意義的掌握，是來來回回在嘗試錯誤與不斷使用中，慢慢讓字詞的意義具體與穩定下來 [7]。數學學習的過程也類似。學生不見得會先將數學概念都弄懂，才能運用它，剛好相反，通常學生是先一知半解，靠著嘗試錯誤，與經常練習恰當的程序、透過恰當的應用解題，然後才有可能對該數學概念有較整體的理解。光只是理解數學概念，不重視相關程序、策略的同時發展，反而只是將概念孤立懸宕起來，不能徹底理解這個數學概念的潛力。 學生的概念理解不是不重要。但是希望學生先理解概念才能學習，或者以為學習數學就是理解數學概念，這種想法不但在教學上沒有效率，甚至還是危險的。 |
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其實這可能也可以解釋，為什麼經過多年的數學教育研究的累積，改革者還是很輕易地犯了「明顯」的錯誤呢？因為這一批熱心的數學教育學者與現場老師，都不是不懂數學，但是他們由於心在教育，也都沒有機會再深入做過數學研究，因此他們所理解的數學正好處於鄙棄計算、尊崇數學結構之美的時期。 7 因此，語詞在溝通上的精準度一直是基本問題。這不只是離散的詞無法掌握連續現象，而且也是學習語言過程都是獨特唯一的問題。但是沒有人就因此主張學中文，要從字典學起。 |
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行為主義都錯了嗎？ |
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許多改革者鄙視傳統數學教學中的行為主義要素，覺得基於機械式訓練、「賞善罰惡」的教學法，並不能讓學生學好數學。不過從現在暫時的結果看，過去的教學雖然壓抑了學生，但是比起建構國一生的表現，傳統教學反而讓更多學生在數學上較流利自如。 從廣義來講，行為主義只是正視人類學習中的本能面，舉兩個例： 第一，為了解釋數學概念，教師通常會訴諸較可親、較易理解但不很有效率的程序。就教學效果而言，這點無可厚非。問題是，改革教學傾向於放大延長這個過渡階段，甚至取代正式的階段。 學生並不了解程序的優劣。由於人類有惰性，學生習慣可親的程序後，要再轉入正式、較有效率的程序時，就會發生很大的抗拒，長期陷於兩者並用的混亂狀態。建構國中生還用連加來處理乘法，用連減來處理除法的極端例子，就是明證。 第二，比較可親的程序，通常是比較瑣碎的方式，本來就需要較長的計算時間。建構教學由於尊重學生的發展，並不要求學生心算的習慣，又因為強調概念而疏忽練習，學生連自我建立心算習慣的機會都很少。因此學生等於是要用非常素樸的計算能力，進行長程瑣碎的計算。這種教學法付出的代價，是浪費更多時間與製造更多錯誤的典型雙輸。 如果對於別人覺得簡單的問題，自己卻總是要花大把時間，而且還每算必錯。這種負面效應，只會讓學生越來越挫折、焦慮與畏縮。建構教學固然可以忽視這些問題（因為他們重視理解），讓學生保持某種快樂。但是在進入國高中後，這兩種觀點間的衝突就無法避免了。建構教學者竟然放任這種事情發生，只能說是一種對學生認知行為的無知。
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解題太狹隘 |
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這波世界數學改革中，最重要的是解題的強調，這也見於九年一貫的連結指標。目前九年一貫的小學課本尚未出完，看到的部分都相當缺乏解題的訓練。而建構課本，則很明顯未發展解題（或者是非常簡單又典型的解題）。 通常解題的進行，分為將問題表述為數學表式與解題兩個階段。在做問題表述時，最大的內在困難是學生會試圖用問題中的關鍵詞去過濾題型，一方面這是學生必經的過程，但我們又不希望學生拘泥於敘述方式，影響日後的實際應用。解題階段也有一個內在困難，學生一方面要熟稔基本問題類型的解題，作為解題的基礎，但是卻又要能發展他們的想像力、運用知識與策略，面對非典型或陌生的問題。事實上，解題的表述與策略都是高層的數學能力，相當需要紮實的數學基本能力。 台灣建構教學的問題，在於他們雖然強調生活的觀念，事實上卻與生活十分疏離（前面談到的偽生活情境題，是一個明顯的例子）。由於建構課本強調算式填充題作為問題表述的工具，但是因為問題表述較困難，所以他們十分重視問題的修辭方式，經常依固定方式來佈題，很在意怎樣的詞可以用，怎樣的詞不能用。這樣的教法也許可以達成他們原先讓學生將問題表述為算式填充題的目的，但是這個成就其實很薄弱，因為這似乎只反映他們想要重新「定義」生活的教學潔癖，反而與真正的生活無關。在小學中，教師應該要盡量用各種不同敘述方式的題目，來刺激學生掌握日常語言的要素，寧願鼓勵學生質疑題意不明的地方，也不要將命題方式一條鞭化。 如上述，雖然台灣建構相當重視將日常問題，表述成所謂的算式填充題，並進行解題，但是卻牢牢的陷在學生會從關鍵詞看出題型的困難中，缺乏同一類問題可能有不同敘述方式的警覺。另一方面，雖然建構教學有鼓勵學生發表想法的優點，但是因為建構的數學發展緩慢又囉唆，學生的應用問題限制在典型的數學佈題中。有創意的學生，面對低門檻，並沒有太多成就感。由於能融合所學的挑戰問題實在太少，這對學生整體解題能力的提升，並沒有實質的幫助。 64年版的小學課本還有專章處理解題的策略與問題，到了82年建構後，只剩下典型的問題。九年一貫有強調連結的解題指標，但是目前也還沒見到相關的課題出現（事實上，連結指標不能融入其他課程指標，一直是大家質疑的地方）。以數學改革中輕計算的傾向來看，想要達成解題這個高段指標，真是難上加難。
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結論 |
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除了上述這些問題之外，這波數學改革還有一些特色，他們似乎看不出數學本身的特質，認為數學教育中有些材料已經過氣了，只剩下審美與歷史的價值。所以他們強調要在教學中教新世紀有用的數學與能力，另外則是要重視數學中的人文素養與審美面。 曾經有一個用功的管理學院問筆者一個問題：「如果實變數分析比高等微積分進步，那麼我們為什麼不直接學實變數分析呢？」從別的領域（包括許多科學）的立場，知識是在進步的，因此就理當揚棄已經過時的知識。問題是，雖然數學這個學科也在進步，有一些部門變得比較冷門，但是數學本身卻是累積性的，沒有真正過時的東西。數學教育也不可能揠苗助長，直接教比較先進的成果。數學教育看起來似乎有許多演變，但是有些核心的原則並沒有改變：（1）我們在國小教的東西，就是自古迄今、東方西方學生都學的東西，這不是守舊保守，而是因為小學數學是接近語言這類人類生活世界必須的工具（2）由於數學對象既具體又抽象的特質，在數學教學或教材編寫上，得特別注重練習與解題，來來回回相互呼應，這是要掌握數學概念與能力的不二法門。因此在數學教育中所要傳授的所謂知識，就是深刻而非流行的知識，而且這個知識就是能力本身。在數學教育要更動內容，並不是不可以，但是它應該要同時滿足這兩個條件，免得造成教育無謂的浪費。 |
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| 至於人文素養與數學審美，這雖然是重要的課題，但是卻絕對不是在「基本理念」中說上兩句，它就會自動達成的。在目前已經出版的九年一貫課本中，我們也看不出來這些課本怎麼作到這兩件事，除非批評者心目中的人文素養，指的是在課本會用成語下標題，會有數學家小故事，審美是要放幾張對稱或碎形的照片，或者知道「配方法」很美（卻不會用）。筆者對讓教科書活潑化並不反對，但若以為這樣就可以、或就算是達成人文素養、知道數學之美的目標，那數學的人文面向，未免也太廉價了 [8]。 | 8 這種說大話、自我膨脹的淺碟子文化，在九年一貫各領域的綱要一覽無遺。 | ||
| 台灣的數學改革倒是有一個不同於其他國家的特色。大家都說「數學教育需要改革，是因為廿一世紀的職場，需要更多的數學，因此我們要培養更有數學能力的學生。」，這個目標合理的結論之一，是應該更大力爭取數學教育的時數、師資培育與其他教育資源。我們的數學改革者目前對台灣數學教育的「貢獻」，卻是由國小到高中都減少數學的時數，這顯然是一個言行不一的矛盾。我們在別的文章已經談過台灣數學改革這個「明褒暗貶」的反數學傾向
[9]，公然放棄前面50％的學生。如果數學對廿一世紀的科學科技真的那麼重要的話，那麼我們的數學改革，就是打著紅旗反紅旗，暗中在削弱台灣未來在科學、技術乃至社會的力量。當然這也扣合了，九年一貫掌旗使陳伯璋「反知識」「反權威」「反菁英」的意圖，它的影響就是間接讓台灣本來就根基不穩的科學教育，更加雪上加霜。 傳統數學在許多人身上留下非常惡劣的印象，這使數學教育改革、甚至貶抑數學獲得相當多擁護的聲音。但是台灣又是一個科學數學傳統都很薄弱的地方，這不但讓許多教育改革主事者，在進行改革時作了許多有問題的判斷與決策；同時，這也讓數學工作者在辯護自己的論點時格外吃力 [10]。希望本文能對這種情況，有一些幫助。
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9 〈談九年一貫數學〉 10 舉例來說，彰師大科研班的學生在批評新綱要有這樣的論點：「在數學中,計算只是一個小工具... 現在的科技已經可以處理許多很多計算問題...我想,人類的功能根本不在計算..難道數學家不知道嗎??」如果數學工作者在面對本來應該是伙伴關係的數學教育工作者，都還要花力氣去辯論這些事情，數學教育的前途真是荊棘滿路。 |
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