《書海六品》
kao ． 高涌泉
前 （ 二 ○ ○ 二 ） 年 十 一 月 十 一 日 ， 俄 羅 斯 數 學 家 裴 瑞 爾 曼 （ Grigori Perelman） 在 網 路 上 公 布 了 一 篇 論 文 ， 題 目 是 讓 外 行 人 瞧 不 出 什 麼 名 堂 的 《 瑞 奇 流 的 熵 公 式 與 其 在 幾 何 上 的 應 用 》 （ The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications） 。 裴 瑞 爾 曼 在 聖 彼 得 斯 堡 （ St. Petersburg） 的 史 特 可 洛 夫 （ Steklov） 數 學 研 究 所 工 作 ， 還 未 滿 四 十 歲 。 他 的 專 長 是 微 分 幾 何 ， 功 力 甚 受 敬 重 。 裴 瑞 爾 曼 這 篇 論 文 馬 上 在 圈 內 引 起 了 一 些 騷 動 ， 因 為 他 似 乎 在 宣 稱 已 經 能 夠 證 明 百 年 數 學 難 題 「 彭 卡 瑞 猜 測 （ Poincare Conjecture） 」 。 因 此 朋 友 就 寫 了 封 電 子 信 請 他 確 認 是 否 如 此 ， 他 馬 上 以 一 句 話 回 答 ： 「 沒 錯 （ That's correct） 」 。 他 在 去 年 三 月 與 七 月 又 公 布 了 兩 篇 後 續 論 文 ｋ ｋ 裴 瑞 爾 曼 就 此 掀 起 了 自 十 年 前 普 林 斯 頓 大 學 數 學 教 授 外 爾 斯 （ A. Wiles） 證 明 了 「 費 馬 最 後 定 理 」 以 來 最 廣 受 數 學 界 矚 目 的 一 波 漣 漪 。
「 彭 卡 瑞 猜 測 」 是 法 國 數 學 大 師 彭 卡 瑞 在 一 九 ○ 四 年 提 出 來 的 。 它 大 致 上 的 意 思 是 ： 「 每 一 個 沒 有 洞 的 封 閉 三 維 物 體 （ 流 形 ） ， 就 拓 樸 學 的 觀 點 而 言 ， 都 等 價 於 三 維 的 球 」 。 所 謂 兩 個 物 體 在 拓 樸 學 上 等 價 的 意 思 是 ： 在 不 把 它 們 撕 裂 、 扯 斷 或 黏 起 來 的 條 件 下 ， 我 們 能 將 其 中 一 個 物 體 「 拉 」 成 和 另 一 物 體 一 樣 。 譬 如 說 ， （ 有 一 個 把 手 的 ） 咖 啡 杯 、 救 生 圈 、 甜 甜 圈 三 者 從 拓 樸 學 上 看 都 是 一 樣 的 東 西 。 拓 樸 學 家 早 已 弄 清 楚 了 所 有 二 維 的 物 體 的 拓 樸 性 質 。 如 想 要 了 解 更 為 抽 象 的 三 維 物 體 ， 必 得 通 過 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 這 一 關 ｋ ｋ 如 果 它 是 對 的 ， 得 把 它 證 明 出 來 ； 如 果 錯 了 ， 要 找 出 反 例 。
很 奇 怪 地 ， 如 果 將 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 推 廣 至 更 高 維 （ 四 維 以 上 ） ， 問 題 反 而 變 簡 單 ｋ ｋ 數 學 家 已 能 證 明 高 維 的 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 （ 這 些 證 明 還 是 頗 難 ， 所 以 解 決 高 維 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 的 數 學 家 都 拿 到 了 數 學 最 高 榮 譽 ｋ ｋ 費 爾 茲 獎 ） 。 三 維 的 情 形 卻 是 非 常 地 難 纏 ， 錯 誤 的 嘗 試 比 比 皆 是 。 錯 誤 的 「 證 明 」 越 多 ， 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 的 身 價 就 越 高 。 美 國 私 立 的 克 雷 （ Clay） 數 學 研 究 所 在 幾 年 前 公 開 懸 賞 七 個 數 學 問 題 的 解 答 ， 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 就 是 其 中 一 個 問 題 。 每 一 個 解 答 價 值 美 金 一 百 萬 。
裴 瑞 爾 曼 去 年 四 月 曾 到 美 國 麻 省 理 工 學 院 （ Ｍ Ｉ Ｔ ） 與 紐 約 州 立 大 學 石 溪 分 校 演 講 他 的 結 果 。 依 據 在 場 的 專 家 說 ， 裴 瑞 爾 曼 能 夠 回 應 每 個 質 疑 ， 他 顯 然 已 經 深 思 過 可 能 出 現 的 問 題 ， 所 以 要 找 出 論 文 中 的 毛 病 並 不 容 易 。 在 攀 登 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 這 個 頂 峰 的 路 上 ， 裴 瑞 爾 曼 已 經 比 其 他 人 走 得 更 遠 。 他 的 證 明 思 路 所 依 賴 的 核 心 技 術 是 三 維 流 形 上 的 「 瑞 奇 流 」 （ 瑞 奇 是 二 十 世 紀 初 義 大 利 數 學 家 ； 基 本 上 這 是 探 討 流 形 上 的 曲 率 （ curvature） 某 種 特 定 變 化 的 方 式 ） 。 目 前 大 家 的 看 法 是 裴 瑞 爾 曼 第 一 篇 文 章 大 約 是 對 的 ， 只 是 還 欠 缺 了 一 些 細 節 。 雖 然 文 章 很 複 雜 ， 牽 涉 到 的 觀 念 、 技 巧 很 多 ， 需 要 一 些 時 間 消 化 ， 但 專 家 應 快 要 可 以 判 定 裴 瑞 爾 曼 究 竟 成 功 了 沒 有 。 如 果 他 真 的 證 明 了 「 彭 卡 瑞 猜 測 」 ， 他 與 提 出 「 瑞 奇 流 」 的 哥 倫 比 亞 大 學 數 學 教 授 漢 密 爾 頓 （ Hamilton） 應 該 可 以 共 享 克 雷 數 學 研 究 所 的 一 百 萬 獎 金 。
認 得 裴 瑞 爾 曼 的 人 說 他 非 常 聰 明 ， 曾 在 美 國 學 藝 好 幾 年 ， 後 來 還 是 選 擇 回 俄 羅 斯 。 他 在 前 年 公 布 論 文 之 前 ， 已 好 幾 年 沒 有 在 期 刊 發 表 任 何 論 文 ， 只 是 沉 默 地 埋 頭 工 作 。 出 了 名 以 後 ， 他 仍 然 拒 絕 媒 體 的 訪 問 ， 也 不 回 答 任 何 與 數 學 問 題 不 相 干 的 電 子 信 件 。 裴 瑞 爾 曼 的 低 調 和 外 爾 斯 頗 有 呼 應 之 處 。 十 年 前 ， 外 爾 斯 在 證 明 數 論 三 百 五 十 年 未 解 大 難 題 「 費 馬 最 後 定 理 」 之 前 幾 年 ， 也 是 默 默 埋 頭 苦 幹 ， 沒 有 發 表 什 麼 文 章 。 裴 瑞 爾 曼 與 外 爾 斯 兩 人 都 耐 得 住 寂 寞 與 壓 力 ， 以 最 高 的 學 術 熱 誠 全 神 灌 注 在 一 個 問 題 上 ， 這 種 自 信 與 修 養 算 是 少 見 。 在 這 個 年 頭 ， 學 術 研 究 已 不 是 一 個 人 關 起 門 來 可 以 做 的 事 ： 裴 瑞 爾 曼 與 外 爾 斯 雖 然 沒 有 討 論 的 對 象 ， 他 們 仍 然 得 透 過 期 刊 或 網 路 了 解 別 人 最 新 的 成 果 ； 不 過 兩 人 全 力 以 赴 ， 在 所 不 計 的 作 為 ， 還 是 彰 顯 了 一 種 真 誠 的 學 術 精 神 。
裴 瑞 爾 曼 在 第 一 篇 論 文 的 首 頁 加 註 了 一 段 謝 辭 ： 「 我 的 部 分 經 濟 來 源 是 我 在 一 九 九 二 年 秋 天 訪 問 （ 紐 約 ） 庫 朗 數 學 研 究 所 （ Courant Institute） 與 一 九 九 三 年 春 天 訪 問 紐 約 州 立 大 學 石 溪 分 校 ， 以 及 一 九 九 三 至 一 九 九 五 年 在 加 州 大 學 柏 克 萊 分 校 擔 任 米 勒 研 究 員 （ Miller Fellow） 時 所 存 下 來 的 錢 。 我 感 謝 每 一 位 促 成 讓 我 有 這 些 機 會 的 人 。 」 這 段 話 告 訴 我 們 （ １ ） 俄 羅 斯 的 經 濟 情 況 還 是 很 糟 ； （ ２ ） 很 多 頂 尖 的 研 究 並 不 需 要 太 多 的 資 源 ； （ ３ ） 豐 富 的 物 質 不 必 然 買 得 到 學 術 人 才 與 學 術 的 精 神 。
