曹亮吉老師訪問稿
數學經驗
訪談


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訪問群：陳韻如   仇竟珊   李淑梅   
整理 : 黃郁茹   王憶葦   李淑梅

曹亮吉老師為去年本系的退休教師之一，現於大考中心服務。曹老師精通數學史，並有多本著作，在教育方面相當有貢獻。我們希望藉由此次訪談，了解老師的學思歷程，以及對數學教育的期盼。

童年-高中的生活

　

訪問群：
從小對數學有沒有什麼特別的興趣、感情？ 		　
曹教授： 我寫過一本書叫做«阿草的葫蘆»，前面有個序，裡頭講了一些東西，可以參考。一個所謂偉大的數學家都是小時候不得了對不對？現在要問說我有沒有這樣的故事。不過要先聲明，我不是偉大的數學家。我的親戚說我小時候數學就很好，他們都喜歡逗我，常問我什麼東西幾斤，等於在考我算術啦！我答了以後他們就一定說不對，我就跟他們吵架。跟鄰居叔叔伯伯吵架的事情，我有一點記憶。
學算術我大概沒有什麼困擾，一直到學代數。我們那時候學代數是初一，但是六年級的時候，我爸媽有一天心血來潮說我們來學代數。他們當然不會教啦！那個晚上，真是人生最大打擊。全部不會，什麼負負得正，這是在幹什麼？反正弄得很慘。我們家有個小黑板，我媽記帳用的，那天她就把它清乾淨，說我們來學代數、來學負數。完了以後，我媽就很傷心了，說這小孩子沒有前途，我很放心了，因為沒有壓力了。
我真正對數學感到有興趣其實是高一的時候--平面幾何。我們那時候高一專門學平面幾何，我自己就跑到中央圖書館。那時候中央圖書館是在建中對面南海學園，現在是科學教育資料館。我常常跑到那邊去，找日本書，或是比較古老的中國書，抄日本的，把一題一題幾何題抓出來看，然後再想及整理。說我有什麼數學特別的地方大概就是這個地方。
不過這條不歸路也不是在高一的時候就確定的。這裡頭還有另外一個故事，我在另外一本書«考試知多少»寫過。高一的數學老師姓譚，綽號叫做譚幾何，表示他幾何很棒。跟譚幾何相對的就是王三角。我們高一兩個學期，一個學期學平面幾何，一個學期學三角。這兩位老師呀，死對頭。有一次譚幾何在課堂上開罵，我就順著他，也講了一句話。我忘了講了什麼話，結果他大怒。他罵：你是哪一班的，這句話問得很奇怪。他問的是你初中哪一班。我們高中那一班是直升的，來自初中的三班，一班數學是他教的，另外一班是他敵人教的，然後還有一個是中立國的那班。如果我是他敵人那班出生的那就慘了，我說我是來自中立國的。這比較好一點，他說罰站，站到下課，也沒事。我就在想，老師怎麼可以這樣呢？怎麼可以這樣處罰我，越想越不甘心，就想說有什麼辦法可以報這個仇，那時候想法很簡單，我將來就要學數學，學得要比他好。唯一的想法就這樣，這個大概種下了遠因。
我那時候成績可以保送，任何系都可以，包括醫學系。我的想法很簡單，什麼東西我不喜歡呢？醫學我不喜歡，要動手的不喜歡，所以工學院、理學院的化學、物理，全部都給殺掉；殺殺殺，殺到最後剩下數學一個。所以就暫時決定數學。有一天，台大來了很多建中的前輩介紹台大有些什麼系。輪到有一位數學系高我一班的，他上去講：你們千萬不要來數學系，他說數學系當人當得要死呀。我一聽，就決定這是要去的系，就這樣。 		　
訪問群： 在大學之前，除了那位數學老師，有沒有其他老師對你有比較深刻的影響。 　
曹教授： 我在建中，確實碰到很多稀奇古怪的老師。這當然有他的背景啦，因為我們那時候比較早，好多老師都從大陸來的。他們在大陸其實都是很有學問的，像我們那個賀校長，他是河北省教育廳長，人脈很廣，會去找一些在大學任教的老師。因為到台灣來，大學沒有那麼多位置，他就找這些人來。
我們高一的時候就有一個老師，讀政治的，想法在當時有點偏激，現在來講根本不算什麼。當時戒嚴那種氣氛下，他是有點偏激，有點自由風氣，不是站在政府這一方。會批評政府，不過他在批評的時候都會非常小心。有一天他把我跟另外一位同學找去。我那同學是第一名的人，功課好得不得了。老師找我們去，主要的目標是我那個同學，他勸我那個同學。我那同學在週記上寫說水滸傳不是純粹小說，是反應民間疾苦、政府腐敗。我們老師一想，這種東西要是給情治單位亂搞的話，這不得了。他基於愛才才把我同學找去，說這東西可以看可以想不能寫。還有他把我也找去一起聽，因為我跟那同學很好。
我還有一個老師，忘了是哪一個英文系畢業的，每天穿了西裝，留的是八字鬍子，有時候就帶那種西洋常常有的柺杖，有時候就帶帽子--西洋帽子，就是一副西洋紳士的那種打扮。這個老師很好玩，英文是標準的牛津腔，講話也裝做英國人那樣。他妙的是什麼呢？考試自己出題，我們班的考試，他自己出題。哇，題目真是有深度呀。只讀高中的課本，不可能考得好。我們班上有兩個人，考那種試就是九十幾分，我只考六十分。按照平常那種讀法，用功的人考六十分，課外自己加油的，就從六十分開始往上爬啦！我們班那兩個人九十幾分的，英文真棒。你在那種環境就會感覺到人外有人天外有天。我們那兩位，英文怎麼學的？中間一個，他是用英文看天文、心理學，全部都英文自己讀。學校功課馬馬虎虎就是了。他到聯考前的三個月跟我說：我要準備聯考。有一天我們兩個人騎車子經過總統府，經過醫學院那邊，他就說：我要進這個。三個月之後就第三名考醫科進去了。他在大學讀書也馬馬虎虎，反正不會去拚成績就對了。他讀精神科，準備到美國去開業，開業就要考執照。但是精神科執照很難考，不只是醫學的問題，還是跟人、語文、什麼有關的。他去考，考出來成績實在是太好了，老美說，你不要開業了，我們請你當教授。他現在在慈濟當醫學院的副校長。他的英文是這麼學的，從頭開始就是用英文讀，沒有什麼翻譯那種問題。另外一個，那是很妙，他怎麼讀英文呢？很簡單，讀英文的黃色小說。他每天都抱著一本書從學校外面走進來，一直讀讀讀，讀到進到教室坐下來才收起來。放學回家的時候，把那本書拿出來又讀。這個人是怪人。大概老師同學都有些古怪，所以蠻刺激的。我們還有一個老師，也有點古怪。我們那班都是讀理科的，到高三的時候呢？我們對這歷史課最期待。歷史老師講故事。講得很好聽，一直講到民國初年。講軍閥的時候，他說：我不講，自己看。幹嘛他不講呢？後來去打聽打聽。他原來是孫傳芳體系的，本身就是軍閥的。我想現在建中已經沒有那種老師了。我們那時候的老師真是五湖四海、各式各樣都有。 		　

台大數學四年

　
訪問群： 老師那你進入大學之後呢？你們那時候有很多老師像施拱星那些老師。聽說他們都當得很厲害，我們聽了都很難想像，您可不可以稍微敘述一下你大學生活的部分。 　
曹教授： 剛不是說賭氣嗎？人家說你不要來讀台大數學系，我就偏偏去讀了嘛！對不對。其實我對數學，喜歡是喜歡，不真懂啦。算是到大學以後才懂。我們那時候是數學系威權體制的最後幾屆。所謂威權體制就是那幾位你剛剛提到，施拱星老師、許振榮老師、還有沈璿老師。我們那時候就是「三高」，高等微積分、高等代數、高等幾何。大家都知道有這三個殺手。我們那屆之前，其實每一屆畢業人數很少。本來招生就比較少，然後畢業也很少，差不多每人都當過。我們那屆算是畢業得多喔。我們那屆開始，從威權體制開放，所以我們是這些三高的關門弟子。他們的數學是純技術派的，最難的技術拿出來教，所以當然很難。對我來說是還好，我跟另外有一位大概是我們那屆唯一沒有一科是重修的。
另外一位是戴永生，戴永生他有個哥哥是比我們高幾屆的。因為受哥哥影響，他高中就準備讀數學系，而且知道怎麼讀數學系。所以高中的時候就去讀德文、法文。高中的時候就把大學數學系的東西都唸掉了。考試前那次上課，他會來說：ㄟ，要考到哪裡？考試那天看得到他，其他日子都看不見。當兵的時候，我們在炮校，他個子很高，站班頭，我站班尾。那時候就比較熟了。我說：畢業了是不是要出去，他說 : 是呀。我說 : 你怎麼辦呢？你的成績當然不壞，也不是最好的，申請學校怎麼辦？他說簡單，我正在寫論文。他就用那個論文，哈佛好幾個學校，全有獎學金。
我就是糊裡糊塗的，就是說，不知道學了要幹什麼，但就一直跟數學奮鬥，居然也沒有補考過。我記得有一次，高微啊，沈璿，除了我們那班之外，還有好幾屆一起上的高微。學期完了，看成績。以前是貼在福利社走廊那邊。我來看成績，高微８１分。那個８１分算是我從進大學以來，最菜的一個分數啦。剛好旁邊有重修的，高年級的，他就嘆氣說，那個真浪費啊，他的意思是說，能及格就好，幹嘛那麼高。我成績最差的我記得是複變，也是沈璿教的。有一個學期是６９分。這也菜得不得了，不過呢？大概也是在全班前面。反正對大部分的人來說應該是很難的東西，因為太技術取向。對我來說反正碰上了就學嘛。這些技術的東西也不是說不好玩，還蠻好玩，所以就這麼學了。
倒是在大學的時候，真的好好學數學是楊維哲的課。那時大一，新生集合在一起。施拱星是系主任，他講兩句話就把我們交給導師--賴東昇。賴東昇講了兩句話，就說，現在我們請楊維哲來跟你們講。他也不是助教也不是什麼，什麼都不是，三年級學生。他吱吱吱講，講得天花亂墜，我們都聽不懂。我不知道他在幹什麼，不過只知道一件事情。就是說，我們微積分除了四堂課之外，還要補課。補什麼呢？補什麼叫實數。是楊維哲要教的。我們這些熬過來的人，無論是集合論也好，無論是推理也好，代數的想法也好，就把那個底子打下來。那個確實是有用的。我想如果是大學學什麼對後來有幫助，就是實數這個。他天花亂墜亂講，我們就亂學，不過就努力去想，到底在幹什麼。總算把他吞下去。分析學的想法，代數學的想法，集合論，推理啦，整個公理化的精神，大概就是那麼磨下來的。數學還蠻有趣的。我想並不是說每一門課都很愉快，有的實在是熬死、憋死。天天在搞那個技術。不過，有些課是還不錯。那些搞技術的課，搞到後來根本就投降。我們高等幾何講張量。當然就很多的index，右下角有，右上角也有，螞蟻一直地上爬天上爬。搞不清楚，學了是覺得不知道幹什麼。有些當然是學得有點興趣，有些就學得非常抽象。像我們那時候學拓樸學，施拱星老師教的。當時最新出、最難的一本書--拓樸學，是最抽象的拓樸學。一路教下來，花了很多時間去懂、去了解；那個東西有沒有用呢？看怎麼說，我覺得什麼是實數訓練過以後，形式訓練，事實上是沒有必要的。對我來說，現在等於是重複，整個過程更複雜。我覺得也不能說沒學到什麼，但是學的東西對以後的影響大不大？不大。所以這裡頭就是一個問題，這完全是個人的，就是說，你對於數學領受，可能可以有好幾方面。一個是基礎的訓練，還有數學跟其他領域有什麼關係等等。那麼台大數學系過去就是重視基礎的訓練、技術的訓練，這就是台大數學系。這種訓練對於沒有全心投入的人來說，大概都很慘。或者說你很不小心考到台大數學系，根本心不是那麼愛它，那你就會很慘。像我這種存心來挑戰的，當然是要跟他打到底啦。所以不太一樣。		 　

留學經驗

　
訪問群： 大學畢業之後呢，您是有當助教，還是當了兵直接出國。最後出國是唸什麼？ 　
曹教授： 當了兵就直接出國。我唸數論。我去芝加哥大學，那也是個偶然。在我決定之後，芝加哥大學剛好有一個教授來台大數學系訪問。那時我在當兵，施拱星老師就把我叫回來。說你一定要見見這老師。我就回來，也是糊裡糊塗的，英文也不會講，就跟他見面。命中注定，這是後來我的老師。去芝加哥為什麼找這老師呢？起先根本也沒想到要學哪一方面，就照表抄課。第一年就是有三個學期九門課。很多東西都是重複我們這邊學的。這裡頭有一點點好玩的事情。譬如說複變，複變我當然也學過啦。開始的時候都是勝任愉快，到後來就不行。他們的教法，不是一點一滴講技術上怎麼證明呀；只跟你講這是在幹什麼的，技術可能有一點點，剩下的都是你要自己做的。所以前面我是勝任愉快，要自己做的部分當然是勝任愉快。等到後面我從來沒碰過，就慘了。中間有一門課是項武義教的。他在教什麼我實在是不知道。考卷一看，哇，怎麼可能呢？每一題都不會。寫了沒多少就交卷去了，對他笑一笑。大概得到一個P吧，就是pass。
那時候我就這樣，糊裡糊塗到了第二年。開始讀一些專門的，專門的自己要去選。結果我實在是不知道要讀什麼。那時候還有一件事情，就是科學月刊創辦了，創辦人就是我的物理系朋友(按:指林孝信)。他說：我們來辦雜誌。我就跟他辦雜誌，所以我那時候讀的書，很多不是研究所的東西。我是補讀數學通識。我在圖書館常常讀的書就是數學史啊；只要是比較介紹性的我就抓來讀，每天在幹那種事情。學校功課怎麼辦呢？有時候就拖著欠著。
有一天，施拱星老師跟我寫一封信，他說他要出遠門，繞世界一圈，從歐洲那邊去，然後到美國，會到芝加哥，到芝加哥想要看看來台灣訪問那位教授。他說請你幫我聯絡一下。我才想起來，喔，有這位，就去找他。找他順便跟他聊一聊說：「唉，我實在很苦惱，不知道將來要做什麼；你下學期要開什麼課？」他就跟我講：「代數群論。」我說：「那東西會不會很難呀？」他說：「不會啦！不會啦！」那我說：「我去聽聽看好了。」他說：「歡迎，歡迎。」這樣就上去了。後來去上課才知道，那個東西蠻抽象的。就是群裡頭有代數結構，李群的話就是群裡頭我們給它一個分析結構，但是代數群的分析結構，就限制在多項式，那個東西當然就會跟數論有關係。去上課真的不知道他在幹什麼，但是很努力的想知道他在幹什麼，這樣子跟他熬，熬熬熬，熬到後來自己在想說，我到底要做什麼？作論文要作什麼？作哪方面的呢？我就硬著頭皮再去找他說：「如果我找你寫論文，有沒有問題呀？」他說：「沒問題！」又是沒問題，所以就跟他寫論文啦。他丟了一些東西給我去讀，對那些東西就是似懂非懂，然後有一天他就告訴我說：「唉！你要好好想一想，我要去日本東京大學客座。」他要去日本，他太太是日本人。他說：「我在想你要怎麼辦呢？」我說：「我能怎麼辦？」他說：「第一，你另外去找一個人重新開始；第二個，我替你找一個人暫時代管，代管一年；第三呢，你跟我到日本。」ㄟ，我說：「第三個！第三個！」我說：「我去日本的話，那獎學金怎麼樣？」他說：「可以啊！照樣拿獎學金呀。」我說：「哇！那還用說，我當然是跟你去日本。」這裡當然有一些背後啦，因為我是生在日本的，我爸爸是留日的，我爸爸是台大的外文系日文老師，所以當然受了點影響，會一點日文。那有這個機會，還不去？所以就要跟他去。但是有一個問題就是「簽證」，他一說要帶我去我就趕快去辦日本的簽證，結果他們就說要介紹信什麼的，我就照辦，找誰呢？找我老師的老師。我老師的老師是一個日本人，叫做小平邦彥，在那個領域大概也是最有名的教授。他是日本國寶級的，得到日本天皇賞的。我的老師請他的老師寫了一封介紹信，他覺得說萬無一失啦！然後我的老師先走了，我在那邊等簽證。怎麼等也沒有！所以我只好到日本領事館，問說：「怎麼回事呀？」他說：「東京那邊啊，法務部好像有一點意見的樣子。」「什麼意見？」他說：「我不清楚。」不清楚我就寫信給我老闆，他已經在日本了，他就請他的老師去問法務部到底是怎麼回事？直接就打到法務部部長那邊，他說：「我們有一個人要從美國來的，到底是怎麼回事啊？」他們講一講就「沒有問題！沒有問題！」這樣就簽證下來。
下來以後，我跑到東京大學數學系去找系主任，我說：「怎麼回事啊？到底發生什麼事情？」「啊，它是這樣啦，最近在鬧學潮啦！」說那一陣子1968世界性的學潮。東京大學也鬧學潮，裡面好多的窗子都給打破了。他說中間有一個案子，有一個台灣去的留學生，一個女的。她呢，嫁了一個日本人，但是她不願意拿日本護照，台灣護照被撒銷，也不敢拿大陸護照。東京大學有很多左派學生支援她，每天在那邊示威遊行。你知道他們示威遊行好玩到什麼程度？你們沒有機會去看，那真的很好玩。他們還蠻自律的，他們一定排得很整齊，為了不會出事，最前面一排有一個長的竹竿，每個人握著那個竹竿，這樣就不會散掉了，旁邊的也要握竹竿，前後對齊。所以它等於說整個圍起來了，然後就走，「嘿咻，嘿咻」，喊口號，好像發瘋一樣，每天搞那個事情，搞得學校頭痛得要死。所以法務部的人說：「ㄟ，你們台灣的人來這邊搞學潮，現在又有一個從美國要來幹什麼的？」我聽到後哈哈大笑。那個時期剛好發生釣魚台運動，我如果繼續留在美國大概就會捲進去了。我那一位辦雜誌的朋友，因為辦雜誌所以聯絡網很廣，釣魚台事件發生以後，大家都覺得說：「該你當聯絡中心。」一當聯絡中心就是政治問題了嘛！再搞下來，周圍的人多多少少都會碰上，所以我那一年離開到日本，一年以後再回美國的那一年，在美國的釣魚台運動，就從開始的愛國運動分裂成認同的問題，你認同台灣的政府還是北京的政府？搞到水火不相容，我剛好躲開，我那個同學很慘，最後他這邊的護照被吊銷掉，也不願意去拿那邊的護照，結果變成沒有護照，等於是非法居留，書也沒讀。不過這個人是一個終身讀書的人，所以他也不是這麼在意學位的。他最近在新竹辦社區大學。我跑到日本，其實心不在數學，我的心根本就是要看看日本到底是在做什麼的。		 　
訪問群： 那您在日本的時候還有沒有什麼深刻的印象？ 　
曹教授： 深刻的印象當然就是日本學運，還有親眼看到環保的問題，從開始談到我要離開的時候，他們環境保護署成立。台灣怎麼還沒有碰到這個問題？這個問題遲早要碰，後來才發現我們可能遲了十年左右。那一年，數學我作了一件事情，就是終於弄懂了我要作一個偉大的計算，那是一個matrix的問題。我就從n=1開始，再作n=2，然後，我做的問題是modulo p，那p我就從2來試試看，3來試試看，5來試試看，就這樣搞。終於我知道大概怎麼作，得到幾個結果。然後很高興的跟我老闆講「這個問題有眉目了。」他說：「當然啊。到這個程度，我相信你會了，下面才難呢！」下面難的地方是他不會的，有點喪氣。不過除了到東京到處玩之外，有時候收收心就是作作數學。有一天終於把它弄掉了，剩下的就是去湊，很多東西湊起來變成論文。所以我的老師不錯，給我一個題目，讓我有能力去解，大概是這樣吧！ 　
訪問群： 老師，那您完成學業之後，是立刻回來嗎？還是？ 　
曹教授： 沒有，我在美國遊蕩了好久，沒有立刻回來。去過密西根一年，然後到普林斯頓二年，到伊利諾州的一年，才回來。
　

投入數學史

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訪問群：
那老師回來以後您就繼續作數論嗎？ 		　
曹教授： 我作了一點。不過在之前呢，我就自己評估過了，繼續作數學研究呢？還是有其他方向可走？這個評估對我來講比較容易，因為我已經把數學史都翻遍了，知道數學的傳承演化重要性怎麼評估。所以自我評估一下，如果作數學研究，可以啦，可以作教授，可以有一些研究成果，但是說會對數學的發展會有什麼貢獻？大概不會。所謂的發展就是說，你一時可能會寫一些論文，而這些論文可能會引起一些討論，但終究一百年以後，數學歷史書上會不會寫說這個人做了什麼事情？這很重要。我要評估是要評估這個。如果每一篇論文都能夠影響大家，那你計算一下好了，在二十世紀作數學的大概十萬人左右，每一個人一篇文章，就十萬篇文章，如果十萬篇都有影響，後來的人都應該讀一讀了！你想想，不可能嘛！那當然也要分門別類啦，分門別類如果分個十門，每一門也有一萬篇文章，那你想想看，也是不可能！從這個角度來看，就是說每一個可以寫論文的數學家就寫一篇論文，馬上就可以證明這十萬篇論文很多終究是沒有用的，這是數學式的證明。有一本書寫二十世紀的數學發展，列了誰在哪一方面有貢獻，用統計的方法去看，你發現上個世紀一千人對數學的發展會有幫助的，會留下這個所謂永遠的影響的。那你看看這一千人，一年新出來的不過就是十個人，全世界那麼多數學系在培養，一年培養出那麼多人，其中可能只有十個人對數學的研究會有影響的。從這個觀點一看，真的是讓人灰心啊！對整個研究我是自己有自己的看法，我不會說除非你是那一千個人，否則不該作研究，我不這樣覺得。我覺得作研究，一個人如果覺得說對數學的發展會有貢獻，那你作研究，當然所謂貢獻我們就要看的遠一點。另外一個是說，你為了作研究而能夠把自己數學的學識提升，那是好事情。我們把他所有的研究工作串起來，可能就是一個變數X，今年他作X=1，明年他把變數X=1改成X=2再作一次，當然不是說完全抄，不過幾乎就是抄啦！到後年就變成X=3，這樣下去，他可以有很多論文，但是對他自己的學識沒有什麼增長。這樣沒有什麼好處，因為對自己的學識沒有什麼增長，所以對學生的教書也不會把他教的更好。我的意思是說，你作研究如果是很誠實的增加自己的學識，因此在教學生的時候也會比較越來越知道數學在幹什麼，這些都是好事情。所以如果是這樣來說，你能夠作一些數學的研究，然後覺得說對自己有益、對學生有益，我覺得這些都是好事情。反過來說，要對自己有益、對學生有益，並不一定要作數學的研究。真的有研究、真的有深遠影響的人，他通常來說都是在年輕的時候，也就是在大學之前，已經把數學的各方面大概都瞭解了，因為數學是很奇怪的東西，你需要知道前人在幹什麼，但是等到你的時候，你要跳開，因為數學是相當普遍、世界性的，前人所留下的問題其實每個人都在作，所以你要瞭解前人的，又要跳出前人給你的束縛，這個事只有年輕人幹得了。為什麼大家在講數學創造一定是年輕人的事情？數學史的發展有一句話「如果過了三十五歲，你還看不出數學有什麼發展，那就是沒有前途」，不太可能說以前沒有什麼名氣，突然過了三十五歲，你就有什麼偉大的發現，這種機率是非常少的。有，但是非常少，主要就是因為數學這門學問是很特別的。你要知道古人在想什麼，但是你又要跳出他的範圍，你才能夠有大的創見，否則你一定只是小小貢獻而已。這一點是我讀數學史讀出心得的，讓自己解套，說「ㄟ，我再去幹那個事情太晚啦！」那這是我讀數學史的好處。但是壞處是什麼呢？因為我讀了數學史，所以沒有認真在純數學的研究，我放在純數學研究的其實不多。要是我國中、高中唸數學的話，可能就不一樣了；這是第一個認知。另外一個認知就是，數學有很多東西並不是只是創造發明什麼公式，而很多東西是說這些想法、這些概念到底有什麼用？會去想這些問題、會去看這些問題，我發現這也是一個好大的世界，有太多好玩的東西、有太多別人不知道的東西。所以我就想說，既然我在這方面已經用功了一陣子，那就繼續。我就去把數學史的東西挖出來，裡頭很好玩的東西就把它拿出來介紹給別人，我覺得這是對自己學識的增長，也是對別人的一個幫忙，所以我就走了這條路。 　
訪問群： 老師有寫過一本書«阿草的葫蘆»，那老師當時怎麼會想要寫這樣的一本書？ 　
曹教授： 我寫這本書之前其實寫了很多東西，從科學月刊開始，一開始我就每個月寫一篇文章，那是有關數學遊戲的，我覺得它很好玩。但是我總是覺得它好玩是好玩，但到底不是數學。不久前，師大的林福來教授跟我聊天，他就說：「你越來越退步。」我說：「怎麼退步？」他說：「你影響最大的，是前面寫的數學遊戲。」我說：「ㄟ，奇怪了，你怎麼會這麼想呢？」他說：「小孩子小的時候，你跟他說數學有什麼用？其實也是很抽象的，倒不如讓他去玩，玩出名堂以後再說。」我寫了三十幾篇有關數學遊戲之後，才開始寫數學的東西，一篇一篇寫，我大概寫了一百多篇。
寫一寫，後來就寫了一本«數學導論»。談一個理學院的學生他應該知道數學的面貌。自認寫的不錯，但是現在看起來，還是理論比較多一點，理學院的學生可能看得了，但是其他的可能就不行了。後來就想，只給理學院的人唸不行呀，也要給一般的人看。就寫了一本«微積分»，比較有歷史味道的寫法。當時找了幾位老師合寫，等於是我主編。這個我把它定位是大一的一個比較通識的寫法，不過後來看一看，雖然這對我來講已經是很通識了，但是對別人來講，還是會覺得很難，因為那本«微積分»確實也蠻難的，只適合理工學院的。最近幾年我就故意去教微積分乙，教一教我就重新想過要怎麼寫一本微積分給不是理工的學生唸？今年也出了一本微積分基本要義，它的對象就是非理工的。不過寫呀寫的總是覺得還是在大學生程度，而且是比較高程度的，所以我就想寫一個給高中的老師看的東西，就把有人文氣息的、基礎層面比較沒有那麼高的、有趣的事情，寫成«阿草的葫蘆»。那時候遠哲科學教育基金會剛成立，他們說要出叢書，我就自告奮勇，寫了第一本。不過還是有人告訴我，那東西好像還是太難，他們不覺得身邊會碰到這些問題。所以下一次我會寫身邊會碰到的東西，現在我正在收集資料。
我最近寫了一本«曆的對話»，就是藉由兩個人來談曆，例子很好玩，裡頭有很多面，甚至政治的問題、歷史的問題，你要去找曆到底有什麼問題，最好是藉四百年前利瑪竇跟徐光啟的對話，因為利瑪竇的老師是參與西方改曆的，本來是四年一閏，但是久了以後不準了，所以改成四百年九十七閏，他的老師就是去幫這個教皇作這個事情。在明朝這邊曆也不準了，就是徐光啟去參與改曆，改成現在我們還在用的農曆。我想想就讓這二個人去對話嘛！嗯，很好玩！他們第一次見面是1600年，這回想到2000年是世紀末還是世紀初？這個問題搬回四百年前，還是一樣的問題，藉由這個去談中國農曆和西洋陽曆有什麼不同？會發生什麼問題？從這裡談起，這是«曆的對話»。我最近的一些想法就是，想寫一連串的書，就像«曆的對話»這種方式。下一本，我想要寫一本數學天地，用數學的觀點去看天文地理，這裡有很多簡單的數學就能用的上場的，把歷史故事和數學交叉，來讓它的基礎層面降低，讓人家有興趣。後面還更有野心的想寫一個東西，我自己都不知道該怎麼寫的，從數學眼光來看社會學科，像歷史、地理呀，裡面到底有什麼數學？有一點點想法但是說還沒有到說我能夠寫出書的目錄。如果有一天我開始寫書的目錄，這就表示說可行啦。像數學跟天文地理是可以動手的，大概就是寫作的歷程。
寫«數學導論»的時候，我自己都覺得數學少了很多，已經有其它的味道在，但是別人看了還是很多數學嘛！到«阿草的葫蘆»，說「這裡的數學很少了吧？若沒有數學怎麼談數學？」但是別人還是會說「你跳太快！」有些東西太高級了，越來越平民化，是有需要啦！因為一般人學數學的印象就是純粹的計算，除了計算之外，你不知道數學還能怎麼用？現在我可以找很多很多例子說「就在你身邊！你常常在用你都不知道！」要提醒一下，大概是這樣。		 　
訪問群： 您有寫中學教科書嗎？ 　
曹教授： 我沒有寫過教科書。我一方面執行考試、一方面參與制訂課程，但是我不寫教科書。我要寫的是教科書的上游，就是提供一些資料，因為數學教科書裡的應用題常常都是很詭異的，不可能發生的應用題，那我就是要提供一些真的數學的應用，還有在歷史上這些數學是怎麼發展出來的？我覺得作上游工作很重要，因為我有這個專長，別人不一定有，我跟別人去寫教科書幹嘛？ 　

進入大考中心

　
訪問群： 那您是什麼時候進入考試中心的？ 　
曹教授： 民國78年，考試中心成立的第一年。那一年聯考的時候我是入闈的，入闈只是要看看題目有沒有問題，題目印了就沒事了。有一天報紙上寫說考試中心要成立，我知道他們在談要怎麼樣改變聯考，成立了一組人，這裡頭有研究委員，李白飛老師是其中一位。研究委員上面當然還有一個決策的單位，決策結果就是成立一個研究機構來研究。這就是大考中心，中心主任跟我說溝通及公關很重要，這真的很奇怪，這不太像一般政府衙門的想法，我就去幫他忙，所以說就到這條路來了。並不是因為我很懂研究發展要做什麼，只是覺得是挑戰就去。 　
訪問群： 數學教育領域中作過最有意思的事？ 　
曹教授： 對於數學教育，一方面是自己寫書，另外一個挑戰是九年一貫課程，九年一貫課程找我來召集；另外有一個教育改革委員會，由李遠哲主持的，找我去，我的教育學分是在哪裡學的，所有有關教育，教育改革、教育文化，都是在改革委員會學的，所以在改革委員會裡對我有不少幫助，至少我像是得到一個碩士。因為在過程中有關課程，是我參與主筆的，所以對課程方面有些了解，九年一貫的數學我就參加了。
第一次我是跟他們講說，我對數學課程內容實在是不懂，尤其小學，不過我總有些好處，一個好處是我總有些古裡古怪的想法；第二個我能夠綜合大家意見，就是等到我有一個說法可以讓大家都能接受，那會就可以算開完了。大部分參與的人跟我都是第一次見面，我也從來沒有在中小學裡打滾。有一次一位參與者跟我講說：「我起先以為是做不成的，不過我每次來參加開會時都看你已經坐在那裡了，而且把功課都做好了。」所以他覺得他很願意再做下去。
我認為老師的一些想法要改變，老師不能還停留在只是會教同學算，不能說你的技術高明，讓你的學生有了基本的技術，就朝著稀奇古怪的題目前進。第二，老師要知道，數學不是理論上很有用，而是真正很有用，他要自己去找很多很多的例子出來。這個東西一開始是有點難，因為很多老師的應用題就是雞兔同籠。我給他們很多例子，也掀起一波討論，說數學講求應用是什麼意思，其實不只是應用，而是藉著這個來看數學，所以我們就有一套的理論，就說數學跟外界如何連接，我們大概分五步。第一個就是：你要察覺哪裡是數學問題，有那種敏銳的感覺。這個東西不容易，你可以自我訓練，譬如說，一份報紙我留下來看哪裡有數學，一開始看時什麼地方都沒有數學，看久了以後漸漸數學就跑出來。這是察覺，另外一個就是轉化，轉化成問題，然後你再解題，解題就是數學問題，解題後還要有兩個動作才會有用；一個是你要會和別人溝通，你知道問題是什麼，你到底有什麼觀點說這個數學問題看來就是這樣，這不太簡單。因為，數學就是這樣，很難表達，你需要有些技巧。另外就是說，到底題解了沒有，解的方法好不好，你解的方法能不能推廣。這些東西是一套，讓數學不只是解問題，而是解了有用。這裡的解題有些適用代數想法，算術想法。代數想法稍微抽象些，但是會了就受用無窮。
舉一個例子說，最近我去中亞烏茲別克，烏茲別克裡有個城叫Khiva，綠洲城市，那個地方以前是花剌子模帝國。這個地方，城裡頭有個塔，原本是要建到109公尺高，後來只有26公尺高。當時要建到109公尺高，用意是說當地的王，可以遠遠看到遠在400公里外敵人的布哈拉－另一個綠洲城市，等於是要給敵人一個威脅；後來對方知道這件事就去賄賂建塔的工程師，塔就建不上去了，看到這個故事覺得很好玩。第一個反應就是，那能看到嗎？109公尺高就是三十幾層樓高，我們把他誇張一點，把他想成新光三越，馬英九就跑到上面看到高雄，給謝長廷一個威脅，有可能嗎？我想不太可能，並不是說眼力不夠好，根本就是給地球擋住了。這個就是數學問題，我們可以去算一下，那就畫個圈，畫個半徑凸出去一點點，最高的地方，畫個切線，這是你看的最遠的地方，我來看一看你凸多高可以看多遠，如果純粹是109公尺，才只能看30幾公里遠，而不是400公里，那不可能。所以解完題你就做一個評析，認定這個故事胡說八道。不過再想一想，這個城比較高，在上面再建一個塔能看的更遠？但是你解題的過程一樣，把109公尺高再加上城高，還是你那個高度。如果你的城建在喜馬拉雅山那麼高，那也看不到四百多公里。你還可以再評估，也許兩個城都很高，不會使問題複雜呢？不會，看的最遠就是這兩地的連線，切到這個圓，把切點連到這兩個城，就有兩個直角三角形。同樣的東西做兩次，用h表示高度，同樣一個公式馬上就可以算？用代數的方法絕對比算術的方法好，因為h可以上上下下。你可以把公式簡化成估計的公式，因為一切都是在估計，不是需要那麼準。代數做法比算術做法好。一個估計的方法會更好，這是評析。評析包括解法是否還有很多應用，比如說鵝鸞鼻燈塔，可以照到多遠，反過來講，多遠外可以看到這燈塔，問題一樣，只是哪個高度把他定一定就好了；還有一種，你要看喜馬拉雅山，最遠多遠可以看到，你會以為遠的不得了，剛剛我們算過，差不多320公里左右。還有比如說，澳洲有很廣大的森林，樹都很高最怕失火，所以要做瞭望台，他可以望多遠呢？問題一樣嘛。這個東西其實還可以反過來用，我們剛剛不是畫了一個半徑凸出來一點，畫一個切線，假設不知道地球半徑r，但可以去測俯視角，如果知道角就知道r，古代人就用這個方法來量地球大小。當然，理論上是很好，技術上有困難，因為那個角幾乎是接近90度。但是如果真正好好量你可以求得地球大小。這都是同一個東西，有很廣的應用。我們分析一下，解題解的好不好，整個一輪下來，你會發現數學真的是一個很厲害的工具，應用很廣的工具，這個我們希望在課程中把他弄進去，這些東西我們要的技術都不高。
有的數學老師說，我們數學應用的好的是高次方程式，意思說到國中學一次兩次沒有用。但是我們真的學了數學以後，才知高次多項式唯一的用途就是取函數值。我們在學微積分裡頭求函數值，就等於泰勒定理，但是通常用泰勒定理次數不必高。所以我們在國中、高中學了這麼多偉大的多項式理論，那是理論而已，對大部分的人來講，他一輩子都碰不到，倒是剛剛講的二次三次逼近，那是很有用。高次多項事實上是一個奢侈品，但是我們的數學教育把他弄得神聖得不得了，其實這都是值得檢討的地方。我們讀數學系的，當然要知道高次多項式，但是讀工學院的人，他碰到高次多項試他真的會去解嗎，不會的啦！		 　
訪問群： 為何從數學系退休，轉到大考中心？ 　
曹教授： 數學系不少我一個人，這裡需要我這一個人，我轉過去是當然的。我在這裡，身分也改變幾次，一次是研究發展處處長，後來是副主任，後來是顧問，現在是副主任。這種改變一方面是我在這裡的角色，另外，也反映大家對考試中心的看法，尤其是大學。我們第一任的主任李先生，他看的很透說：如果這個中心沒有大學支持，一定是做不了事情的。所以他是想要中心的人員比照大學的人員，能夠合聘還是怎麼樣的；合聘是說，單位主管，甚至研究人員都可合，但這個東西在教育體系裡頭很難做。通常學校有老師外調去公家機關，這年資是可以算的，但是每個學校對這個暫時離開的都很頭痛。如果說毫無限制的話可能一個系裡頭一半的人都在外面兼職，對那個系發展不好，所以都有時間的限制。李主任覺得這個機構要長久就要讓考試中心是屬於所有大學的，在考試中心不是在大學做事嘛？那時是孫震孫校長，他也能夠了解，所以就讓我過來，只是三年要重新續聘一次，讓我能夠在這裡多做一點事。後來學校行政會議愈定就愈嚴格，說我們外調就是一任，所以就說好我回台大，就變成顧問了。但由於明年開始考招分離，考試的事情這裡辦，招生的事情大學辦。現在考招分離了，考試通通歸我們管，工作重了，所以主任就鼓勵我過來；我算一算服務公職，剛剛好在台大24年當兵1年，問問學校說可以嗎？學校說可以，我在想捨不捨得離開數學系。我覺得我在系裡沒有什麼偉大的作用，台大數學系有這麼多人，有我沒我好像差不多。我最近幾年都是在這邊（大考中心），花的時間這邊多一點，在數學系就少一點，而且讓年輕人發揮本來就是我們數學系裡的傳統，我們數學系比別的系相對來的年輕。此外最近幾年實在是愈教愈沒有成就感，學生上課趴著睡覺，或是去打電動，或是不來上課，對於上課愈來愈沒有興趣，所以說我對學生沒有什麼貢獻，想一想離開台大也沒什麼影響，所以有一天就下定決心，辦手續離開。 　
訪問群： 今天很高興老師能接受我們的訪問，相信以上老師的這些經驗能讓正在求學階段的學生們好好的思考，也讓我們學數學的人更能知道數學生活化的重要與樂趣。 　


（網路版由仇竟珊（B87）輸入校對）

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