林長壽老師訪談1
數學經驗
訪談


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  數學經驗

林長壽受訪時為本系教師，後轉到中正大學擘建數學系，現為中央研究院院士。



訪問：葉爾瞻
整理：施美瓊、陳倩萍
(系刊《台大數學》1988)

用功雖不錯，但也不要整個人被書給控制住，我們要用我們的心來控制我們的行為，讓我們的心非常敏感，用功不能用功到把整個人埋住，而自己要有感覺問題的能力，以這樣的方式念久了，便能分辦什麼是好的數學問題。

　
師： 我願意接受你們的訪問來談談這些問題，基本上是因為我在教育上有些想法。我們整個來看，不僅只是數學系的教育，我覺得一個年輕人從高中畢業變成一個大學生最重要也最可貴的是他要有一種期望，要有某種理想。不管這個理想在現實上能不能實現，他一定要有個理想。當然所謂理想，不是說將來想當個工程師、醫生這類的理想，而是指希望將來能做些事對社會國家甚至人類有些好處，這是我們判斷理想的一個依據。做為一個高中畢業即將進入大學的學生而言，至少要有一個orientation建立自己的道德。我所謂的道德是與剛才提到的理想是同一種意思。我們大約有一個方向想要能發展出自己，能夠超越出我們普通能看到的道德而仍然是一個道德。能超越現實，而知道一個方向是好的，我的意思是年輕人的好理想是要超越現實。不因現實的困難而做為不建立理想的藉口，相反地，現實有困難才會使我們去建立理想。所以，進來的學生應要有這樣的抱負。而站在一個老師的觀點來講，我不只希望學生有這樣的抱負，且希望在我能力範圍裏面，能幫忙他們達到這種願望。以下我們就拿這樣的架構及orientation來談，也就是說我的標準就是建立在那裏。我在上大一課時也常常講到，我個人認為數學系教育的一個最主要目標應該是怎樣利用在學數學的過程中，讓學生培養出不僅有理想而且要有能力判斷及實現理想的種種細節。換句話說，他能完全成為一個很成熟的人，數學做為幫助我們達到那一步的工具，對數學系的學生而言，至少要這樣子。 1. 本文原刊1988年系刊《台大數學》，文後所談及當時系務概況，現在多少已有不同。
生： 如果一個老師秉持著這樣的理想，那麼在教學上可能會怎麼做？
師：
 剛才講過「教育應該怎麼樣」已經有一個general picture。退而求其次，在學校的教育也要能夠啟發學生的潛能，學生能力不到的地方，潛能我們要把它激發出來，這是至低至低的標準。當然，我們假設來念數學系的學生，希望他以後都成為數學家。所以，要培養一個好的數學家，從一開始就要好好做。如果以這樣來看的話，上課僅按照課本來教，基本上比較不能發揮做為一個老師的功能。例如書上講什麼，老師在黑板上就寫一遍，這樣就成了老師在替學生念書。學生在下面聽老師講一遍後，就比較懂，回去念起來就比較輕鬆。這樣子我覺得甚至比學生自己念都還不好，為什麼呢？老師教完，學生在念，通常使學生有個依賴的心理，學生只挑念的懂部分念，念不懂的就盡量避免，反正老師會教，久而久之，便養成這種想法和習慣。學生自己念的好處是，至少碰到困難都要自己努力去把它解決，從學習的過程來講，這樣的學生，有那種勇氣去解決他們碰到的困難，而這種勇氣對我們做研究是非常重要的，而且這在我們一生中追求學問是一個很重要的態度。例如學生畢業後就沒人教他了，如果他只有碰到簡單的東西才要學，真正比較難的他就不學，那麼他對學問就喪失了追求的勇氣，這樣就可以解釋我們的教育非常失敗。人很重要的一點，就是要有追求學問的勇氣。如果我們看到不懂的學問，有很強很強的好奇心去追求它，在遭遇很多困難時，想辦法去克服它，在這樣的過程，不只是學到數學，也學到一個人成長的很重要過程。很顯然地，如果一個人每天都很順利，從未遭遇困難，就算活了20年，我們也會覺得這個人怎麼看起來像小孩子，很多問題他講起來就像小孩子在講話一樣。人的成長是需要有很多適當的困難及適當的失敗。所以說自己看書，至少這是個機會，我蠻鼓勵學生自己看書，如果上課沒有任何好處的話，我甚至贊成學生不要來上課。 　
生： 請老師就自己的教學經驗談談您心目中理想的數學教學。
師： 我只有半年的經驗。雖然以前在美國有教過書，但只是在盡我的職責，沒有進一步想到要怎麼教。我真正開始想到要怎麼教書是去年回來教微積分開始。在教微積分的過程中，才慢慢想到很多教學或學習上的問題。基本上我覺得微積分是很難，難不在這門知識的內容，而是學生的問題。學生從高三升到大一，以前沒有經過數學真正的訓練，所以學生可說是完全不懂，同時也沒有數學式的思考方式。就像一個嬰孩最難的是要教他走路。所以教微積分最難的地方一般來講在於接受者的能力非常非常低。其次，很難的一個地方是：老師本身在對學生成為數學家的第一步課程所扮演的角色如何，通常老師較少去深思。其實這個問題跟剛才的困難有相當的關係，因為它是第一步，對於他能力發展上所扮演的角色，與前面是結合在一起的問題。我覺得微積分在大學教育所扮演的角色是

第一：訓練學生的邏輯性思考。數學家很重要的一點就是要有很清楚的邏輯，這並不是天生就有的，而是要經過訓練的。微積分課程要讓學生在學習的過程中發展出很清楚的邏輯。他要知道什麼是問題，搞清楚人家要問的是什麼，這是需要一點能力的。其次是培養學生對數學的態度，這是更重要的。第三點就是，利用微積分的教材，慢慢培養，提高學生的數學能力。

而在教書過程訓練學生的邏輯能力時，不能用很抽象的東西。在課堂上，我常把抽象的語言轉為平常的話。例如大一碰到的大關──「極限」的定義，我不只把定義用數學符號寫出來，而且用普通話講一遍，也鼓勵學生能這樣講。不只有抽象的數學符號，他自己還要能想想用話講有沒有意思，這是需要清楚的邏輯。比方說「任給 x，存在 y......」，你不能把「任給 x」與「存在 y」反過來，諸如此類的。所以我要求把抽象轉為具體的，學生能做到這一步，就能把觀念灌輸到腦筋中，多弄幾次就會比較瞭解細節。反過來說，也要注重學生要有能力把普通的話用數學的話寫出來。比方說在證明時，我們會做的意思通常是有一個模糊的感覺，該怎麼做就可以做得出來，可是那都是我們自己的話。在大學以前，很少有這樣證明的訓練，所以寫出來不可能寫得很完全。學生應養成把自己的話用數學方式寫出，寫的東西要讓大家看得懂。在學習中，抽象與具體的互換是養成邏輯思想清楚性的第一步。所以剛剛開始我注重這種方法，我常要花很多時間在準備上微積分這堂課。我在家裡先把我要講的東西從頭到尾寫一遍，從這當中，我大概知道學生在學的時候那些東西他會碰到困難，我希望能幫他或讓他自己去解決這個困難。在課堂或習題中讓他自己去思考清楚後，就比較好學。而態度也是很重要的。除了對學問有強烈的好奇心，還要有動機去學它，這是對學問追求的原動力，我認為是最重要的。這個習慣我們要把它培養好，大一剛進來，學生不知道那一種習慣是好，那一種是不好的，像這種好習慣我們就要把它培養好。所以上課內容要有一些適當性的難，不能太難或太簡單。我注重的是他們是否真正對不懂的東西有興趣去把它做會，如果能這樣的話，這門課就會有相當的結果。
生： 微積分是大一學生進來就要學的。所以老師覺得微積分的教學應扮演一個類似啟蒙教育？
師： 對。可是我們不完全把它當成一種啟蒙。我的意思是，學生進來後，我就要讓他開始進入數學式的思考。例如我已經學得這樣子，我本身會比較知道在學習或研究數學過程中，什麼東西會比較重要。譬如對學問的好奇及解決問題的衝勁，這是很重要的。因為我知道，所以我希望透過這個課程以教材讓學生養成這種習慣。因此在有些課程上有些證明會比較繁雜，我有時會跟學生講一下要他們好好地把它聽完，不要半途而廢，這是一個訓練，訓練你在聽人家的意見時，雖然那個意見你並不是十分贊同或感興趣。假使學生有這樣的經驗說這麼難的東西我也可以把它聽完，這是比你把微積分學好還要重要的經驗。當然有這樣的態度，微積分通常可以學得好。雖然我對大一學生除了上課外沒有很多的接觸，我自己是感覺到他們看起來是蠻用功的樣子，我覺得他們這樣非常好。 .
生： 老師能不能談談在教研究所課程時的態度與教微積分是不是一樣。 　
師： 教研究所較不一樣。我這樣講是因為我假設研究所的學生大學時學得此較好。像我那樣教微積分是很困難的，我需要準備很多，而一方面也是因為教材較簡單之故。在教研究所時，我希望教得多一點，而且學生也已過了那個時期，所以是非常不一樣的。大學部的教育在養成學生對數學的態度興趣，而研究所的教育較注重做研究，去年我回來教研究所的課，一方面我教得不是非常好，我想我大概不是很成功。
生： 平常學生很少有機會遇到一個老師他會慢慢引導學生，老師可否給一般學生一些建議，平常應怎樣學習。
師： 我也常跟學生談起這件事。不只是學生，我自己現在也是這樣做，大概談一下我的經驗。從老師的觀點來看我是該像剛才那樣來教。通常在實際上不可能每個人都這樣做，而且每個人的看法也不一樣。如果我是學生，我會要求自己多一點，好好用功是應該的，而好好用功就是花時間去好好念書，就是要埋著頭好好念。對於我不懂的東西，要弄到懂為止，搞清楚每個步驟，很多很重要的東西，不僅要弄懂，而且要弄得很熟，熟到像我們做加減乘除般的熟，要把很繁定理的證明能用自己的話講出來，把書蓋起來自己也能證明，如果遇到問題，便要想想為什麼不會做，再去看書。常常問自己為什麼這個地方要這樣做，要弄到別人問你時，你能用自己的話，很清楚，很簡單地跟他講，這樣便能熟練。把數學複雜的表相簡化，深入它的核心，瞭解並抓住這個核心，這是學重要東西的第一步。學完後，如果後來忘掉也沒關係，以後碰到再等一次時，由於你曾經花時間在上面，很快就可以做出來。在別人問妳時忘掉了，就要趁那個機會自己再拿出來想，用自己的方法再想一次，碰到的困難再好好搞清楚，多次的反覆，這個定理你就能非常熟知它的精髓，熟到好像在做加減乘除般的清楚。知道了它的精華處，並且相信它是對的，其他的證明就可以很快地補起來。學到這個樣子的話，學問就可以學得很好，書就是這樣念，也是我現在的做法。常常要問自己，去獨立思考，不要老依賴書。用功雖不錯，但也不要整個人被書給控制住，我們要用我們的心來控制我們的行為，讓我們的心非常敏感，用功不能用功到把整個人埋住，而自己要有感覺問題的能力，以這樣的方式念久了，便能分辦什麼是好的數學問題。在數學中可以這樣，同樣地在現實生活方面，你也可以知道什麼問題是真的問題，這就是為什麼我剛才說要培養一個人的成熟性，數學是一種工具，並不是空講的。
生： 老師講的這個學習方法，好像跟學生所遇到的老師的類型無關。
師： 對。這是我的經驗我的方式，而且這個方式也不是那麼差。像我從不覺得我自己是天才，我也絕不可能是天才，我只有這樣念。不過據我所知，即便是很天才的人也是要這麼用功地念。只不過一個問題他可能搞個一兩次就懂了。
生： 可是，平常老師對學生的學習應該也可以有相當大的幫助。
師： 像你來跟我談，我就和你談談我的經驗，雖然並不是非常的仔細，只是一種原則性的，這樣就有點幫助。可能某人念數學已到一種困境，無法突破，有時我講這樣的話，他只是一聽就懂了。我自己也有過這樣的情形，念到那種要通不通的關卡時，有時別人無心的一句話，讓我忽然瞭解，因此一下就會了。我是比較傾向於我們不僅是在念數學這個知識，而是藉此增長我們的智慧，如何突破困境，有各種經驗，慢慢綜合之，有一天會開朗的。當然最好老師在教書時，不僅教那本書，因為每個作者不是面對面的跟你說，老師還要能把書中作者不能表達出來的東西表現出來。
生： 老師覺得學生在大學部階段需不需要很在意把學校的成績念好？
師： 在不在意就看每個人的價值觀，比如說我從來就不會在意。就我所知，如果你對成績過分在意，那一定是有很多理由，就要檢討自己為什麼覺得成績重要。如果檢討後的結果還是認為很重要，那是你選擇的結果。而我認為一般學生不應對成績很在意，重要的是你學的懂不懂，其次再問成績。
生： 這樣子說的話，基本上成績跟學生的程度沒有那麼明顯的關係。
師： 應該是沒有。據我知道，台大數學系也有三、四十年歷史，其間培養出稍有成就的數學家實在不多。而這些比較有成就的數學家有多少個成績非常好，也是可以問的。這樣子來看的話，似乎無多大關係。從我們的腦袋來想，找不到任何的邏輯關連。雖然在數學系，你可能在大學時對數學沒有興趣，你可能一旦在適當時機時，你對數學非常喜歡，因此你拼了命要把它念好，就會做得好。一般來講數學好表示頭腦好這是不對的，其間沒有必然的關連。社會上有很多有能力的人，他們的數學也不見得很好。這是我們幻想做數學要用腦筋，所以數學好imply腦筋好，這是不對的。我和很多人談過，我們覺得後來數學能做的好，通當與一個人的personality有關。有的人腦筋很好，可是心不在數學，他就只能做些表面的工作，而有些人表面上看起來反應沒那麼快，而他能花時間在簡單地方想得更清楚一些，這樣的人常能做出更深的問題出來，常常有些腦筋很快的人，只能做些表相的工作，這種例子在數學上是非常多的。我們不能定義腦筋的好壞，只能說誰的反應好，腦筋的好壞常常不是我們想像那麼簡單。
生： 在訪問老師之前，我們有訪問過康明昌及莫宗堅兩位老師，他們也主張學生不用太在意分數。可是我們反過來說，以一個老師的立場，因為他握有打分數的權利，這樣他是否要儘量使這個分數真正表現出學生的學習成果？
師： 我想用這樣來要求老師比較難，要想達到這個樣子，第一個老師上的學生班級不能太多。老師對學生要有相當的瞭解，人數一多就不能，通常只能用普通的方式。我相信老師打分數的一個問題點是，他當然想反應出學生的好壞，他的方式最重要是公平。所謂公平是在他可以看到的方式之下來打，例如考試成績。以老師的觀點來說，打分數是屬於一種比較公平性的方式。學生如果本身不大注重分數的話，他就要負起成績可能念不好的責任。不重視成績的學生有兩類：一種是只求pass，他當然得負起成績不好的責任。而第二種學生是他的價值不在分數而著重於他有沒有學到東西就好了。因此他會花很多精力去學跟他整個人發展有關係的東西，很可能去念較多的數學，這樣成績會比較差。既然這是你自已判斷下所得到的結果，當然你要負責。有些人成績要好也是要付很多代價的，他得把課堂上的東西都要弄得很清楚，他過分注重這些，可能在思想方面的發展比較受限制。不能以表面的所見來下斷語，付出的代價是我們不能看見的，學生要為自己所作的決定導致的後果負責。負責任是作為一個成人的必備條件。
生： 學生也許可以不用在意成績的高低，可是如果不幸需要重修的話，對學生的學習實際上是一個很大的負擔。可是系上普遍低分制，也可能是學生不夠用功，這很難說。像高微幾乎每個人都要重修過一次，能否請老師談一下這個問題。
師： 基本上，我覺得學生學一次最好就要懂。就我的瞭解，我們對一個課程，第一次念不好，第二次要念的話，通常有很大的心理障礙，這並不是妳不能再把它念好，可是我們心理上就不大想再把它念一次。同一本書，你第一次念不好，再念一次，你還是不能很專心，就是一直避免去念它，這是我們都有的經驗。我猜想這可能與我們認為念好數學常常與能力有關，所以第二次不一定會比第一次好。我勸學生第一次多用點心把它念好，不要馬虎，再念一次是很麻煩的。萬一學不好，自己就要想辦法排除心理障礙，我認為一門課一次通過最好。至於成績低的問題，我在想為什麼數學系的成績一般會比較低？我以為數學系的課程與一般系較不同之處在於它的入門課程比較難，要花很多時間把基本的東西學會。踏入那個門的階段比較難，一旦進去後就比較好，這是本質上的不同。提到高微當人的問題，我以大一班上為例，這學期我讓他們全過，我並不保證下學期也一定是這樣。雖然有些人不及格，可是我在上課的過程中，可以感覺到他們很用功。他們完全聽不懂的時候，也是很盡力地想把它弄懂，以一個老師的立場而言，我不覺得該把他們當掉，有些學生我就跟他們交換條件，我給他們過，而開學後交習題給我。學生的目的如果只是學習的話，常常不需要當，要看各種情形。作為一個老師，他並不知道這樣教究竟對不對，對學生是否有好處。而測驗的方式就是出些題目讓他們做，如果大部分都不會做，從好的方面來講是你想要教的東西學生無法接受，即使是如此，老師本身都要檢討。可能是教學方式或題材不大好。在一個課你把學生當了一半，很可能是老師要檢討一下，你這樣教有些問題，這是學生與老師都要有某些責任的，不只是學生用不用功的問題。
生： 實際上我們的情形好像長期以來一定是當一半以上。
師： 學生被當這麼多，我是覺得不好。我蠻注重學生的信心。信心是一種很奇怪的東西，如果沒有信心的話，數學都好像學不好。不曉得為什麼，信心對學數學的人而言是很重要的一環，我覺得要盡量避免破壞信心，學生一旦沒有信心，也就減低了對數學的熱忱。在系務會議中也談到，大部分學生進來至少對數學都還有一點興趣，但經過一兩年後都只求畢業。這實在非常不好，至少表現出數學系的教育是蠻失敗的。這剛好與我們的目的顛倒，原本是想把對數學不大有興趣的學生變得有興趣，現在都反過來了。我覺得重要的是要如何讓學生常對數學有興趣。
生： 我剛才提到學生可以不考慮分數的高低，可是不能考慮他要不要被當。可是就我看到的情況，整個系上的學習風氣都是以分數為主導，就是很少有學生會自己去拿一些書來看，除非老師大力推薦的書。當然，大力推薦也許是老師會考那本書的東西。請問老師對這個現象的看法。
師： 就我的瞭解，分數為主導是指60分以上才有意思。我剛才以為分數為主導的意思是一個學生他得70分，他覺得不夠要80、90分才行，如果只是以通過課為主導，這個態度是應該的，這樣子不叫分數主導。在我當學生時候，班上當然有少部分同學都想要很高分，可是這種人非常少數。我記得以前班上大部分學生只求過了就好，我自己當然不是這樣子，我是很隨便啦！考試從來就是做完了就交，常常二個小時的考試，我一個小時做完就交了，不大注意分數。我們班上也沒有到這種地步。
生： 現在請老師談談師生座談會的情形。
師： 座談會主要是學生提出一些看法問題。那就看系裏覺得是不是問題，要不要解決。好像後來有以數學學會的名義寫一封信給老師，大概提到大班小班制，現在是有些問題在討論，例如班級過大的問題有放在系務會議上要討論，其他的我就不十分清楚。
生： 上次座談會完後，一般系上其他老師的反應如何？對那封信的反應？
師： 我不大曉得，我沒有聽到，也沒有其他老師跟我談過這個問題。我自己是覺得學生有什麼問題應該讓系裡知道，這種態度是對的。因為你們是數學系的主體，你們學習中有問題，我想老師有責任也有義務想辦法解決或減輕問題，我想這是應該的。
生： 老師自己的意見覺得我們系上的教學部分有沒有必要做那些改革？
師： 現在系裡有兩方面問題。一是班級過大問題，一是必修課程的討論，這都很重要。我當然不希望有那麼多必修課程，盡量使它降到最低程度，只要不違反教育部的規定。像有些課，雖然不是必修，可是很重要的，也可以討論一下。我有個意見是系裡把重要的課或建議學生修的課討論一下，例如複變函數論，現在是半年，而我覺得半年太少，我就建議系裡下半年也開必修，把這些重要的課開出來讓學生修。另外就是能在學生三年級時，我們把這些課列張條子說明一下為什麼很重要，讓學生作為參考，諸如此類的措施。因為我們對數學的領域比較清楚，這是關於課程方面的。而像某些課程該在那一年教應有些邏輯性的結構。例如我們以前大一學過集合論，我認為集合論也是很重要的。以前有半年的集合論，半年的線代。比方說大二上來高微就有要用到線代，微方也要用到線代，所以同時有三門課在學線代。我的意見是把線代放半年的課程在大一下，其實在微積分後頭如Green定理都要有一些些線代，所以在大一下有線代的話，課程的連接會比較好一點。另外有些老師談，我們是否該對必修課程都要有課程進度表，就是說這門課至少應該教過什麼東西才算，稍微將進度表弄詳細一些。這些對我來講都是細節，我可能標準定得比較高些。不過加果我們能在課程上有些改變，也是很重要的，做事情總是要一步一步來。
生： 不過我想這檢討應是學生與老師雙方面的。老師覺得現在學生有那些需要檢討？
師： 這就回到我剛才第一句話。我就是期望你們要有很大的理想。像我認為你們以後應該成就比我好。我今天來此教書，我的任務只是要使你們比我好，而學生也要有比較高層次的理想，這樣子自然就會想要念書，不是為了老師而念，而是為了以後你要做什麼。即使藍圖畫得不很清楚，也要把理想放高。

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數位化：楊佳芳(08/00)，