拓樸的回顧--楊忠道

在五十年代之前，拓樸上的活動並不是很多，主要是homotopy theorem，算homotopy group，\pi_k(Sⁿ)，計算homotopy group 比算homology group困難多了。Homology group，只要k比n大，就等於零，所以很簡單，但是一到homotopy group就不一樣，當初一個出名的結果是Hopf做的，他算出來\pi₃(S²)=Z，這個結果一開始讓大家很驚訝，後來大家集合去算，但是困難很多，需要找到一個技巧再去發展，在四十年代後來一個一個去算，在那時候有一段時間，大家聽說Pontrjagin 做出\pi₆(S³)=1，但是隔了一段時間這個結果仍然沒有發表，慢慢又過了幾年，大家覺得奇怪，這個文章為什麼沒有出來，再過了一段時間，有人說這個大概是錯的，但是卻不能證明它是錯的。最後解決這個問題的是Serre，假使我記得不錯的話，這是他的博士論文，一個人的博士論文能把這麼一個問題做出來，真是了不起。那個時候差不多做topology的人，都想著這個問題，但是都無從下手。他用fiber space的辦法做出\pi₆(S³)=Z₁₂，這個是非常非常難的東西，我猜想那個時候他連二十五歲都不到，當然Serre現在已經是一位數學大家了。

四十年代很多人做Lie group，也有許多人考慮Hilbert fifth problem，Hilbert很聰明，他提的問題都不會很死板，主要的大家猜這個問題的意思是：「Every locally Euclidean group is a Lie group.」 Locally Euclidean group 是一個topological group，它的乘積是continuous，但是在Lie group 裡頭，你可以取適當的座標，讓它的乘積是analytic。從continuous到analytic這中間的差距很大，所以當初這個問題很多人在那裡做，大概做Topology的人都在做。（在Euclidean case ，map是考慮continuous，但是在Lie group 中要求analytic，二者有一些差距。）

開始做成功的是一個特殊的情形，Von Neumann 把 compact的情形做出來，他的結果說這個是對的，不過他的group是compact。後來Pontrjagin 考慮group是abelian的情形，大概到1951、1952的時候這個問題是解決了。這個問題被解決，主要的工作是三個人做的，一個是Montgomery同Zippin兩個人合作證明「Every locally Euclidean group has no small subgroup.」，換句話說，「identity has a neighborhood.」，在這個neighborhood 中間只有一個closed subgroup，就是identity，此外就沒有了，所以沒有很小的closed subgroup。第三個人是Gleason，Gleason證明「Every locally Euclidean group without small subgroup is a Lie group.」。這樣子把兩個結果合併起來，這個就解決了，這兩篇文章是1952在Annals of Mathematics發表，發表後隔了幾年大家都很失望，原因是當初覺得這個問題有趣，是期望這個問題解決以後，也許可以用到別的地方去，也許這個解決的辦法可以別開生面，用到其他方面去，結果這些預期都沒有達到，所以這個問題就這麼解決了，告一段落。所以許多事情，事前可以這麼想，但是事後可能完全不一樣。

附帶提到兩個人做transformation group的工作，transformation group 通常有一個compact group,G,當然條件可以再放鬆，但是會變得困難的多，也有一個manifold,M，假定G在M上有一個action，這就是說有一個continuous mapG*M->M，就是(g,x)->g^x，它滿足這個map是continuous同時還滿足一些條件，譬如說(gg')x=g(g'x)、ex=x。當然可以讓M是一個topological group，G是一個subgroup，用通常的乘法，這個很明顯是一個action。假定M是一個group，G是一個subgroup，這情形你可以看quotient group。在這裡一般的action，G*M->M沒有subgroup，但是有orbit，對於任何一點x，{Gx: x in G}是一個compact set，把這些全部合起來，記做M/G，這個通常用quotient topology，叫做orbit space。

在那個特殊的情形下，假定M是一個group，G是一個subgroup ，那麼一個orbit就是一個quotient set，這個情形就相當於fiber bundle，不一定是product而是fiber bundle的樣子，在那個情形，假使情況好的時候，就同product很像，所以在這個特殊情形我們知道有一個事情：dim M/G + dim G = dim M，假使是product的時候，就很明顯。

Montgomery-Zippin提出一個問題：「Can a p-adic group act effectively on a manifold?」 Effectively就是表示action除了identity 之外，其他都會將每一個點映到另外一個點。他們為什麼問這個問題？假定我們能夠證明「a p-adic group can not act effectively on a manifold.」就可以得到Hilbert fifth problem。那個時候雖然這個問題已解決了。

在５０年代我也曾經考慮過這個問題，得到一個令人驚訝的結果：「If a p-adic group G acts effectively on an n-manifold, then dim M/G=n+2 or infinity.」起初我以為有這個結果，大概可以找到一個反例（contradiction），如果可以找到就表示Hilbert fifth problem可以用這條路徑去解決，結果找來找去，沒有找到，不但我沒有找到，後來的人接下去找，也沒有找到，這個是關於Hilbert fifth problem 的問題。

在五十年代以後，一個非常非常重要的結果是Smale做的：「Generalized Poincare Conjecture」，他為什麼做這個問題，有道理在裡頭。我們再來看 Function of a complex variable，有Riemann surface 就是二維曲面，但是要考慮二維曲面通常考慮它的拓樸性質，而要討論拓樸性質，我們先考慮Triangulability，就是用三角形分割曲面。這個做好以後就可以引出一些拓樸性質，譬如可以談曲面的Euler characteristic、homology group、fundamental group、homotopy group、orientability，討論這些性質可以將二維曲面分類。一般地講，曲面是2-manifold，雖然二維的情況我們現在差不多完全清楚，但是結果並不是很簡單。做了二維接著考慮3-manifold，其中最有名的是

Poincare conjecture：

If M is connected closed 3-manifold and \pi₁(M)=1 then M is homeomorphic to S³.

這個問題一直都有人在做，但是到現在仍未解決。我還記得大概在六十年代的時候，那個時候有很多人在做這個問題，曾經鬧了許多笑話，一個人說我做得差不多了，就寫了一個大綱投稿，一個人發表後就請他演講，其他做的人就跑去聽，講了一半，底下的人就開始吵架，說：「你這個有問題，再仔細講看看」，就這樣，常常一個鐘頭的演講，三、四個鐘頭都無法結束。結果第二個人說我做出來了，第一個人也去吵，這樣吵了幾個月，大家發現誰也沒有做出來，一直到今天這個問題還沒有做出來。

Smale 這個人很聰明，不直接去做這個問題，他把這個問題改一下，做更一般的，就是說「If M is connected ,closed n-manifold of the homotopy type of Sⁿ（fundamental group is trivial and homology group is the same with Sⁿ）,then M is homeomorphic toSⁿ.」這個問題包含了Poincare conjecture，當然上面的情形沒有解決，這個一般的情形也沒有解決。但是Smale 證出「Generalized Poincare conjecture is true for n>=5」，這個是非常好的結果。他假定n至少是5有原因在那裡，他用的方法是h-cobordism theorem，這裡只給大家一個印象，h-cobordism是什麼？

h-cobordism theorem:

W：compact smooth (n+1)-manifold, V, V'：boundary of W, If W is simply connected，and V and V' are deformation retract of W, then W is topologically homeomorphic to V * [0, 1] for n>=6.

Smale 先證明這個東西，證明的方法是用Morse theory，他把W作handle decomposition，分作許多handles，handle是一個sphere和一個disk作product。取n>=6 有一個好處，因為n大，兩個handle可以交換(commute)，兩個handle可以取消掉。

Generalized Poincare conjecture用這個辦法只能做出n>=6，n=5的時候要另外想辦法，可以沿用這個結果把它做出來，做法是：假設M is of the homotopy type of S⁶ ，上下各挖去一個洞，可以證明這是h-cobordism，根據h-cobordism theorem就是cyclinder，把兩個洞封起來基本上是S⁶。

Smale原來的文章很難念，當初很多人去念，很少有人很容易把它念透。不過有一個年輕數學家Milnor（假如我沒記錯，今年六十七歲），他成名很早，很多數學上很複雜的東西，到他手上就變得很簡單、很清楚，有一年他在Princeton開一門課，教h-cobordism theorem，念Milnor寫的筆記，比Smale的好念多了，差不多念懂沒有問題，不過真正瞭解並不簡單。

Smale的文章一出來，n=3,4的情形還沒有解決，下一步關於n=4的情形，主要是Freedman做的，這個主要是空間不夠大，不可能將Smale的東西，h-cobordism theorem整個做出來，不過雖然空間不夠大但也不會太小，剛剛好，可以變一下做出一個比較弱的結果，雖然弱了一點，但可以證明當n= 4時Generalized Poincar?e conjecture 是對的，Freedman也因此得到費爾茲獎，大家認為這個結果非常好。

在n= 4的時候，就是討論4-manifold的時候，有一位英國數學家Donaldson 做smooth 的case ，得到一些有趣的結果，他的結果在楊振寧、Mills的gauge theory用處很大。最後等這些結果都做好以後，原來的Poincar?e conjecture還是不曉得，我知道這個問題還是有人在做，當然自己講做得差不多的，那差不多可以差得很多很多，因為在拓樸上頭沒有大小的。

我們曉得一個曲面可以把它切開成許多三角形，同樣地可以問這麼一個問題：「Is a topological n-manifold triangulable?」當然3-manifold不能只切做三角形，因為三角形不夠大，要用四面體來取代三角形，假使n再大一點用n-simplex來代替三角形。這個問題當初第一個考慮的是3-manifold，最後做出來的人叫做Moise，他證明3-manifold is triangulable.，假使我沒有記錯，那個時候大概是七十年代，他寫了一系列的文章，用點集拓樸做的，非常麻煩。2-manifold是簡單的多，因為有Jordan curve theory。這個theory（strong case）簡單的來說，「If C is a simply closed curve in 2-sphere then there is a map f : S² -> S² such that f(C) = equator.」所以要證明3-manifold的時候，我們很自然的就想到，是不是在3-manifold有同樣的東西，但是很不幸，在3-manifold上同樣的結果是不對的，原因是有Alexander horned sphere，這樣一來，你不能將2-sphere 比做equator，所以這條路不能直接去推廣，因此產生了許多困難，所以Moise的工作受大家的重視，假如我沒有記錯，Moise原來在密西根大學任教，因為做出這個結果哈佛大學請他去，從密西根大學到哈佛大學並不是很簡單的事情，尤其是以他那時候的年紀。3-manifold做好以後，再下去就很困難，更複雜了，要另外想辦法，想的辦法是obstruction theory，這個我沒有辦法詳細解釋，就是說要把一條路打通，通常有一個障礙把你堵住，你要把它證明出來，雖然這個障礙表面上有，實際上不存在，那你就過去了。Obstruction theory 通常用一個homology class，我先用一個cohomolohy來代替，要在n-manifold上做triangulable的問題，後來人家發現可以一步一步去做，做到後來有一個obstruction，obstruction是這個cohomology group的一個元素，假使這個元素等於零的時候，你就通過了，表示這個obstruction 實際上並不存在，假如這個元素不等於零，表示這個triangulation失敗了，就表示說這個manifold不能夠triangulable。最後只找到一個manifold 不能夠 triangulable，所以這個問題最後是解決了，這是Kirby-Siebenmann兩個人的貢獻。所以一個問題本身雖然容易瞭解，但是要解決這個問題可能要牽扯很多很多東西，這個就是做數學的興趣，也是做數學的技巧，你的眼光應該看得遠一點、大一點。

最後我再講一個東西，exotic sphere，這個是從Milnor開始，當初大家以為在一個sphere 上頭，只有一個smooth structure，Milnor做出來可以有不同的smooth structure。他的作法是在3-sphere上考慮：

Q ( field of quternions) ={a+bi+cj+dk: a,b,c,d in R, i²= j^j2= k²=-1, ij=k, jk=i, ki=j}

這個東西在集合上，就好像四維空間 R⁴，用a,b,c,d作coordinate。在四維空間裡頭，有單位球 S³（unit quternions），他現在取兩個

因為把原點拿走，u就有inverse，但是quternions有一個好處，它的multiplication不是commutative，你把這兩個東西併起來，把點同湊起來，這樣一來就得到一個submanifold，這個容易看到。他再去計算，這個manifold的submanifold是smooth，不但smooth它的fundamental group是trivial，它的homology group和S⁷的homology group一樣，那麼根據J.H.C.Whitehead的定理，就曉得這個submanifold 有 homotopy type of S⁷，再用Smale的結果，這個是homeomorphic to S⁷，這些證明都不困難，Milnor最重要的是證明這個和S⁷不是diffeomorphic，就是怎麼移來移去，有一個singularity丟不掉，沒有辦法丟掉，所以那個smooth submanifold是homeomorphic to S⁷，但是不一樣。

這個結果表面上只是一個例子（example），但是這個東西對後來differential topology的發展是非常非常重要的，因為他的結果刺激後來differential topology的發展，所以這一點Milnor的功勞非常大，為了做這個exotic 7-sphere，後來有人把它和代數幾何連起來，連起來後看起來滿奇怪。它是這個樣子，我們只看

（finite dimension linear complex space）在這個空間裡，看滿足下列方程式的集合

（unite sphere）

若將它們拆開是algebraic equality，可分成實數和虛數部分，所以這是三個等式，可以證明這個集合是submanifold，而且是exiotic 7-sphere，這裡妙就妙在當k= 1,…,28時是皆不相同的28個oriented exotic 7-spheres，可以用connected sum（假使兩個manifold，把它們併起來成為一個新的manifold）作它們的addition，得到一個group（Z₂₈），這主要是Milnor做的。我想下個主題是Kervairt invariant，homotopy sphere是Milnor和Kervairt兩個人合作，那篇文章很有趣，不過不太容易念就是。我的介紹暫時到此，謝謝大家。