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自然哲學的數學原理 |
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高涌泉教授
（台大物理系）
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近代科學的主要特徵之一就是高度的數學化。
尤其是物質科學，例如物理、化學等，所有的定律莫不是以數學公式來表達。有些物理學家還敢理
直氣壯地說這些以數學表達的物理定律是超越文化與時空的「真理」。如果在宇宙的另一
個角落有高度文明的存在，那裡必然也有例如與E=mc2一模一樣或數學上等價的定律。或者說，即使人類文明消失了，像E=mc2這樣的真理依然會存在於「某個地方」（如柏拉圖的世界）。如果這樣的信念有些道理，數學就不僅是一種特別的工具，可以一絲不茍的處理長串的邏輯推理而已，它可說是已經碰觸到自然的本質了。
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從兩千年前的希臘哲人到十六世紀的伽利略，
認識（或是說猜測）到數學的重要性與根本性的自然哲學家不能說很稀少。但是他們都未能舉出重要的例子以為佐證，所以自然哲學還是不能明確地過渡到科學。一直要等到1687年牛頓
（1642-1727）發表了《自然哲學的數學原理》這一巨著（以下簡稱《原理》），數學的必要性才算確立。依名物理學家萬伯革（S.
Weinberg）的看法，牛頓的工作引發了有史以來僅有的一次科學革命，其它所謂的「革命」只能算是牛頓革命的餘波而已。
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牛頓在取書名時，顯然是受了笛卡兒（Descarte）所著的《哲學原理》一書的影響。牛頓曾經很仔細的研讀過《哲學原理》，發現裡頭談到自然哲學的部分有很多其實是錯誤的。牛頓的書名一方面聲明他與笛卡兒不同，不會談論一般性哲學問題，而只研究「自然哲學」，一方面強調他所發現的原理是數學性的。研究牛頓的專家認為，他想以《原理》取代笛卡兒舊《原理》的用意至為明顯。
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牛頓的《原理》是以拉丁文撰寫的，格式則參考了歐基里得的《幾何原本》。這本書一開始就下了八個定義，說明什麼是「物質的量」，什麼是「向心力」等等。接下來是公設，就是大家熟悉的三大運動定律及一些引理。再來全書就分成三篇，頭兩篇皆名為「物體的運動」，第三篇名為「世界體系」。每一篇都有許多定理，引理，子理以及證明，中間還穿插了許多評注。綜合地說，牛頓以極高明的幾何分析方法，圓滿地將克普勒行星三大運動定律包融在一個宏偉的力學體系中，由此確立了物質間一種基本作用力，也就是萬有引力。任何兩個物體──不論是天上的恆星、行星或月亮，或是地球上的蘋果，石頭──它們之間都有一股相吸的力，其大小與兩者質量的乘積成正比，與兩者距離的平方成反比。這個力學體系的核心是牛頓運動方程式。只要理解物體受力的形態，其運動的全貌就清清楚楚了。所以過去無從著手的難題，像是流體問題、潮汐現象、彗星軌跡等，在此力學架構之下，紛紛迎刃而解。難怪當時的人們馬上就體認到牛頓的《原理》是一項劃時代的偉大成就。
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所以從思想的層面講，牛頓的成就在於讓人們體認到，表面上毫不相干的現象（例如蘋果落地和月球繞地球），其實有著非常微妙而隱密的關連。只有透過數學才能看出這個隱密的關連。有詩人說，從一粒砂看世界；更好的講法應該是，從一個方程式可以看全宇宙。
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《原理》之所以成書，也有幾分傳奇。故事起於1684年夏天，天文學家哈雷（Halley）拜訪牛頓，想問他能否解決哈雷、虎克（Hooke）和瑞恩（Wren）都無能為力的一個問題，亦即受平方反比力影響的行星，其運動軌跡為何？沒想到，哈雷才一問，牛頓馬上就回答說是橢圓。哈雷大吃一驚，希望能看到證明。牛頓一時找不到原先的證明，答應哈雷儘快補一份給他。數個月後，牛頓寫出一篇短文〈論運動〉（On
Motion）給哈雷，裡頭已有《原理》一書的雛型。在哈雷的敦促下，牛頓才著手撰寫《原理》，完整地闡明他的力學體系。從1685年初至1686年中，花了一年半才完成。科學史家認為，牛頓應該是在
1679-80年間解決了行星軌道問題，卻沒公開宣揚。為什麼牛頓會如此，仍是個謎，沒有定論。
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了解些許數學發展史的人都知道牛頓也是微積分的發現者之一（萊布尼茲稍後也獨立發現了微積分）。在《原理》中的許多證明當然涵括了微積分的精神。但是讀者可能還是會訝異牛頓在書中沒有明明白白地使用微積分的語言。這使得現代讀者在閱讀時會感到困難。名天文學者強得拉色卡（Chandrasekhar）在過世前數年曾仔細研讀《原理》。他的方法是在看到一個定理敘述之後，先嘗試自己證明一遍（當然他佔了三百多年「後見之明」的便宜），然後再對照牛頓的證明。他發現牛頓的證明往往是更高明的，由此他才能更深切地體認牛頓的數學天才。強得拉色卡還以他的經驗為一般讀者寫了一本《原理》現代版（《Newton's Principia for the Common Reader》），不過讀者會發現這本現代版還是不好讀。
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《原理》英文譯本出版於1729年，譯者是莫特（A.
Motte）。他不是什麼顯赫的學者，不過顯然翻譯的功力不錯，二百多年來沒有新的替代譯本出現，僅在1934年有新的修訂版而已。一直到前年（1999）加州大學出版社才推出全新的英譯本，譯者是名科學史家寇恩（I.B.
Cohen）與已逝的惠特曼女士（A.Whitman）。寇恩還寫了一長篇導讀。對現代讀者（如我）而言，使用現代詞彙的新譯本顯然是更易入手的。不曉得什麼時候才能看到類似的摩登中文譯本。
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（本文原刊於中央日報出版閱讀版<書海六品>
2001/1/31） |
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