微積分基本定理》  
  範例 17:四邊形面積公式及微積分基本定理  
  三角形被三個邊長完全確定,四邊形則否,有名的海龍公式告訴我們如何利用三個邊長來計算三角形的面積,至於四邊形求面積的公式,你知道怎麼利用微積分基本定理導出來嗎?  
  《 解答 》  
 

三角形被三個邊長完全確定,四邊形則否。有名的海龍公式告訴我們如何利用三個邊長來計算三角形的面積。至於四邊形求面積的公式,不能只用四個邊長,還要加上頂角的角度,公式由 Bretschneider 在 1842提出(註一)。如果四個邊長依序為,而相關的頂角分別為width=84(如圖一)

width=236 圖一

則此四邊形的面積width=15的平方可以表為

其中$s$是周長的一半,如果以代入整理,

可以將Bretschneider公式寫成:


一個重要的結果是,當此四邊形內接於一個圓的時候,由於,因此面積會最大,並且面積的平方就是width=492。有關Bretschneider公式,蔡聰明在他的書中用平面幾何的方法給了完整的證明(同註一)。本文嘗試用微積分的方法來得出相同的公式,想法來自微積分基本定理–我們想要求一個圖形的面積,不妨把面積對某個參數微分,看看能得出什麼,然後再積分(反微分)回去,積分回去的時候,會生出一個不定常數,再想方法確定這個常數,在本文中,四邊形的四個邊長給定,它的面積以width=15表示(如圖二所示),參數就是角width=14,至於角width=16,它被width=14所決定,因此可以看成width=13的函數。

width=236 圖二

我們先把width=15寫成


則有


因為


微分之後有

(1)

現考慮


將(1)代入得



所以


因此

(2)

其中

是一個待定的常數。

如何決定width=17,當然要選一個特別的角width=14代入,一般會想到讓,此時width=15就是內接於一圓時四邊形的面積,但這未必好求。比較好的方法是令,四邊形就變成了一個三角形。(如圖三)

width=180 圖三

這雖然是一個退化的情形,但是一則不影響一般性,再則三角形的面積有現成的海龍公式,也就是說我們得到

(3)

再用一次餘弦定律

(4)

我們注意左邊就是三角形三邊長為的面積平方(海龍)公式。 (4)式已經決定了width=17,雖然尚未整理,卻至少告訴我們,width=17是一個的四次齊次多項式。

現在,可以利用配方來整理width=17(這需要一點後見之明)


代回到(2)


這是Bretschneider公式。

我第一次看到將width=15對角width=14微分,是在項武義老師的演講中,他的講題是等周問題(Isoperimetric Problem), 他寫下了


然後,他令width=55,得出width=129或者 時,width=15會有最大值。他利用這個事實嘗試給等周問題一個比較幾何的證明(當然,他假設了等周問題是有解的)(註二)他的證明如下:不妨假設這個面積最大的情形是發生在一個凸的區域(周長給定)(如圖四)

width=234 圖四

任取四點,連一個四邊形,如果ABCD不能內接於一圓,那麼就可以調整角width=13,讓ABCD的面積更大,而注意到作這個調整的時候弧長AB,BC,CD及DA都沒有改變。因此,如果這個凸區域在給定的周長之下具有最大面積的話,那在邊上任取四點,所成的四邊形都必須內接於一圓,不難證出這些圓根本就是同一個圓,這個凸區域就是此圓的內部。等周問題主張在周長一定的時候,圓域的面積最大。武義師的證明相當有啟發性。(註三)

註一:見蔡聰明,數學的發現趣談,三民書局九十一年版,第163頁。

註二:等周問題是問,當周長一定的時候,什麼樣的區域會有最大的面積。答案是圓域,有興趣的讀者可以參考Courant and John, Introduction to Calculus and Analysis, Vol II, p.p. 365-366。

註三:八十八年項武義在台大數學系給的演講。


 
 
 
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