積分問題》 |
範例 26:牛吃草問題 |
有一頭牛,被栓在一個半徑為 r 的木椿上(如下圖所示)繩子的一端被固定在A點,而牛能夠走到木椿的對面B。木椿的外部都是草地,請問牛有辦法吃到多少草呢?
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《 解答 》 |
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圖二 |
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圖三 |
我們可以利用解析幾何將軌跡描述出來:
取木椿的中心為原點,令與的夾角為θ(如圖四),於是點坐標為,而?
是圓在點上的切線段,所以,待定,
而 長度要等於弧長 ,於是 ,解得 ,
所以點坐標即確定:
我們可先計算圖五的斜線面積,它會是以下所表示的積分值:
(其中為周期函數,故)
∴ Area,
至此可得吃草的範圍
=上下兩塊Area加上左半圓扣掉木椿面積
=(平方單位)
補充:圖五中弧稱為圓的漸伸線(involute) |
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