可積系統與幾何   (89年度 上學期)

非線性可積性方程目前是應用數學，理論物理與純數學等學門都很感興趣的題材。自純數學的觀點來看，這套工具與語言和其它領域之間，產生了極密切的關聯，例如無限維李代數，辛幾何（Symplectic Geometry），PDE，代數幾何。90年代之後，幾何學上許多重要的進展往往與非線性可積方程有一種近乎神密的相關性。 數學物理學家E. Witten提出了許多這方面的見解與猜測，至今許多問題在數學上仍然懸而未解。本課程是以Witten論文為導向，來做非線性可積方程背景知識的介紹。 由於這是一學期的課程，在進度上，將不會真正深入Witten論文的內容 （它還要求代數幾何的背景），但是如果修課同學的背景知識足夠，且時間允許的話，我們也可考慮做基礎介紹。

預備知識: 關於背景知識的要求，本課程雖然是以self-contained為原則，但是選修者具備分析與微分幾何等研一的必修課至少各一學期的知識（或自修）會使得我們整個進度較為smooth。 這個學期的課程並不預先假定選修者的興趣志向，是提供給一般對分析及幾何有興趣者。如果選修者領域選擇的考量因素較大時，請事先來找老師談最好，才能及早規劃與準備。 關於教科書，這是個困擾的問題，因為目前為止很難有一本教科書是針對幾何學傾向者來寫的，但是以下二本值得注意： R. S. Ward / R. O. Wells : Twistor geometry and field theory, Cambridge Univ. Press 1990. I. J. Mason / N. M-J. Woodhouse : Integrability, self duality, and twistor theory, Oxford Univ. Press 1996. 此外，L. A. Dickey的書， L. A. Dickey : Soliton equations and Hamiltonian systems 較接近數學家I. M. Gelfand / L. A. Dickey他們在此方向一系列的重要工作的本來面目。就我們的需要言，似更有參考價值。 再來，就是原始的論文，其中例如 Gelfand / Dickey , Dubrovin 以及Krichever / Novikov的文章是我們取材的來源之一。

以繳交上課習題為主。或者選修者有其它等價效果的考試方式也可建議，如果可行，也可以額外安排。

註一　授課的進度等細節，將另擇時間提供。 註二　對以上教科書或參考資料有興趣而在圖書館找不到者，可以來借（舊數301）。 註三　這個課程與上學年度同名稱的課程有內容重覆的部分，卻是有限。